全等 · 定义与对应关系、性质、判定、为什么不能少条件

全等三角形的定义、性质与判定

Congruent Triangles: Definition, Properties and Criteria

本页目录定义与对应关系

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义与对应关系

使用条件：同一平面内的两个图形。

全等图形：能够通过平移、旋转、翻折或这些操作的组合完全重合的两个平面图形，叫作全等图形；全等不要求图形原先的位置和朝向相同。

全等不限于三角形

两个四边形通过同一次平移可以完全重合；位置不同，不影响它们全等。

理解时别漏掉：全等不只用于三角形；位置或朝向不同，也可以全等。

使用条件：讨论两个不退化三角形。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。重合时相互对应的顶点、边与角分别叫作对应顶点、对应边与对应角。

理解时别漏掉：写全等式时点的顺序表达对应关系，不能随意调换。

性质

全等三角形的性质

使用条件：已知两个三角形全等。

边与角：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

周长与面积：全等三角形的周长和面积分别相等。

符号表达

△ABC≌△DEF，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F。

△ABC=∽△DEF\triangle ABC\cong\triangle DEF

理解时别漏掉：写全等式时点的顺序表达对应关系，不能随意调换。

判定

使用条件：比较两个三角形的三组对应边。

SSS 全等判定：三边分别相等的两个三角形全等，简记为 SSS（边边边）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F；下面三组对应边分别相等。

AB=DE, BC=EF, CA=FDAB=DE,\ BC=EF,\ CA=FD

SSS：三组对应边相等

AB＝DE，BC＝EF，CA＝FD；由这三组边长条件判定全等。

三种刻痕分别表示三组对应边相等，不提前给角标相等。

理解时别漏掉：先核对三组对应边；仅两边相等还不够。

使用条件：比较两个三角形的两组对应边，以及这两边的夹角。

SAS 全等判定：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等，简记为 SAS（边角边）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F；AB、AC 的夹角为 ∠BAC，DE、DF 的夹角为 ∠EDF。

AB=DE,AC=DF∠BAC=∠EDF\begin{gathered}AB=DE,\quad AC=DF\\\angle BAC=\angle EDF\end{gathered}

同形同大：全等，也相似

AB＝DE，AC＝DF，∠BAC＝∠EDF。

刻痕标两组等长边，同样的角弧标它们相等的夹角；不能换成不夹在两边之间的角。

怎样理解

只固定两条边的长度，夹角仍可以改变，三角形还不能确定。再固定这两边的夹角，才能确定三角形的形状和大小。这里比较的是相等的边长，不是只要求边长的比相等；角也必须夹在这两条边之间。

理解时别漏掉：如果给出的角不是两边的夹角，不能套用 SAS。

使用条件：比较两个三角形的两组对应角，以及这两个角的夹边。

ASA 全等判定：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为 ASA（角边角）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F；∠A、∠B 的夹边为 AB，∠D、∠E 的夹边为 DE。

∠A=∠D, AB=DE, ∠B=∠E\angle A=\angle D,\ AB=DE,\ \angle B=\angle E

ASA：两角与夹边

∠A＝∠D＝α，∠B＝∠E＝β，AB＝DE；AB、DE 分别是这两角的夹边。

α、β 分别是一组相等的对应角；刻痕标在两角之间的夹边上。

理解时别漏掉：夹边必须连接这两个角所在的顶点。

使用条件：比较两个三角形的两组对应角，以及其中一个角的对应对边。

AAS 全等判定：两角及其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等，简记为 AAS（角角边）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F；BC、EF 分别为 ∠A、∠D 的对边。

∠A=∠D, ∠B=∠E, BC=EF\angle A=\angle D,\ \angle B=\angle E,\ BC=EF

AAS：两角与一个角的对边

∠A＝∠D＝α，∠B＝∠E＝β，BC＝EF；BC、EF 分别是 ∠A、∠D 的对边。

两组角条件与 ASA 相同，但这里相等的是其中一个角的对边，不是夹边。

先了解这些知识

AAS 为什么可以由 ASA 推出

△ABC 与 △DEF 中，∠A＝∠D、∠B＝∠E，BC＝EF。已知的边不是这两个已知角的夹边；先补出第三组角，再使用 ASA。

  1. 用内角和补出第三组等角

    每个三角形内角和都是 180°，减去两组相等的角，剩下的角也相等。

    ∵∠C=180∘−∠A−∠B∠F=180∘−∠D−∠E∴∠C=∠F\begin{gathered}\because\angle C=180^\circ-\angle A-\angle B\\\angle F=180^\circ-\angle D-\angle E\\\therefore\angle C=\angle F\end{gathered}

  2. 换用包含已知边的两个角

    现在 ∠B＝∠E、∠C＝∠F，它们的夹边恰是已知相等的 BC、EF，满足 ASA。

    ∵∠B=∠EBC=EF∠C=∠F∴△ABC=∽△DEF(ASA)\begin{gathered}\because\angle B=\angle E\\ BC=EF\\\angle C=\angle F\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF\\(\mathrm{ASA})\end{gathered}

理解时别漏掉：必须是对应边；不能任取一条相等的边。

使用条件：两个三角形都为直角三角形，斜边和一组对应直角边分别相等。

HL 直角三角形全等判定：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简记为 HL；一些英语教材记为 RHS。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，∠C＝∠F＝90°，AB、DE 为斜边，AC、DF 为一组对应直角边。

∠C=∠F=90∘AB=DE,AC=DF\begin{gathered}\angle C=\angle F=90^\circ\\AB=DE,\quad AC=DF\end{gathered}

HL：判定所需的条件

已知 ∠C＝∠F＝90°，AB＝DE（斜边）、AC＝DF（直角边）；先确认两个都是直角三角形。

证明怎样读：先确认两个都是直角三角形，再核对斜边和一条直角边分别相等。这份证明还用到等腰三角形的底角性质；学过“等腰三角形”后再回来看。

先了解这些知识

HL 的理由：拼成一个等腰三角形

两个直角三角形中 ∠C＝∠F＝90°，AB＝DE、AC＝DF。沿着相等直角边，把 △DEF 平移、旋转或翻折到 AC 的另一侧：D 与 A 重合，F 与 C 重合，E 的对应点记为 G。移动不改变边长和角。B、C、G 依次共线；不是把未知长度先当成相等。

  1. 把相等斜边拼成两腰

    复制得到 AG＝DE，已知 AB＝DE，所以 AB＝AG。G 与 B 在 AC 的两侧，两腰 AB、AG 构成不退化等腰三角形 ABG。

    ∵AG=DEAB=DE∴AB=AG\begin{gathered}\because AG=DE\\ AB=DE\\\therefore AB=AG\end{gathered}

  2. 底角相等，回看两个直角三角形

    等腰三角形的底角相等。C 在线段 BG 内，所以 ∠ABC 就是 ∠ABG，∠AGC 就是 ∠AGB，得到 ∠ABC＝∠AGC。

    ∵∠ABG=∠AGB∴∠ABC=∠AGC\begin{gathered}\because\angle ABG=\angle AGB\\\therefore\angle ABC=\angle AGC\end{gathered}

  3. 用 AAS 确认全等

    这两个三角形有相等的 B、G 处角和 C 处直角，AC 为公共边，是 B、G 处角的对边，AAS 得到 △ABC≌△AGC。后者是 △DEF 的全等复制，故原来的两三角形全等。

    ∵∠ACB=∠ACG=90∘∠ABC=∠AGCAC=AC∴△ABC=∽△AGC(AAS)△ABC=∽△DEF\begin{gathered}\because\angle ACB=\angle ACG\\=90^\circ\\\angle ABC=\angle AGC\\ AC=AC\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle AGC\\(\mathrm{AAS})\\\triangle ABC\cong\triangle DEF\end{gathered}

理解时别漏掉：先确认两个直角。两边相等的普通三角形不能直接使用 HL。

为什么不能少条件

三个角相等，大小仍可不同

△ABC 与 △DEF 的三个对应角相等，但 DE＝1.5AB；两者相似而不全等。AAA 不能作为全等判定。

两边和非夹角相等，可以有两种形状

AB＝4，BC₁＝BC₂＝3，∠BAC₁＝∠BAC₂＝30°。C₁、C₂在同一射线上，但 AC₁≠AC₂，两三角形不全等；已知的 30° 不是 AB 与 BC 的夹角。SSA 不能作为一般全等判定。

怎样理解

三个角相等只确定形状，不确定大小；两边和一个非夹角相等，也可能对应两种不同形状。这里分别给出满足这些条件却不全等的反例，不能只凭外观看起来差不多判断。