本页目录定义
示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。
定义
等腰三角形：至少有两边相等的三角形叫作等腰三角形。相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角。
性质
等腰三角形的性质与判定
使用条件：已知不退化三角形的两边相等。
不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。
等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。
三线合一：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合。
符号表达
△ABC 中 AB＝AC，BC 为底边，∠B、∠C 为底角。
两腰相等
顶角平分线、底边中线与高
等腰性质：先作顶角平分线
先比较两腰或两个底角；三线合一针对顶角及其对边，不能任意换一个顶点。
先了解这些知识
等腰三角形的底角与三线合一
△ABC 中只已知 AB＝AC。为了把两腰放入可比较的三角形，作顶角平分线 AD，D 在 BC 内部；不先假定 D 是中点或 AD 垂直 BC。
作顶角的平分线
AD 是新作出的角平分线，两个小角相等；AD 是公共边，两腰是已知等边。
SAS 得到对应关系
两边及夹角分别相等，用 SAS 判定 △BAD 与 △CAD 全等，得到两个底角相等、BD＝DC，并得到 D 处两角相等。
等邻补角只能是直角
B、D、C 依次共线，D 处的两角互补；相等且和为 180°，所以都为 90°。AD 同时是中线和高。
理解时别漏掉：三线合一仅指顶角与底边，不能套用到任意顶点。
判定
使用条件：已知不退化三角形的两个内角相等。
等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形，这两个角的对边相等。
符号表达
△ABC 中，从 ∠B＝∠C 判定 AB＝AC。
判定：先给出两个等角
等角判等腰：作顶角平分线
先了解这些知识
等角对等边的判定
△ABC 中已知 ∠ABC＝∠ACB。作顶角平分线 AD 与 BC 交于 D；尚未假定 AB＝AC。
把给定角放入两三角形
这两个三角形有两组对应角分别相等，AD 公共且是底角所对的边。
AAS 推出等腰
用 AAS 判定两三角形全等，读出对应边 AB＝AC。
使用条件：△ABC 不退化，D 在 BC 内部；AD 同时满足角平分线、中线、高中的任意两个条件。
三线合一逆向判定：在一个不退化三角形中，对于同一顶点及其对边，内角平分线、中线和高中的任意两条重合，则这个三角形是以该对边为底边的等腰三角形。
符号表达
只讨论同一个顶点 A 及其对边 BC。辅助证明中再延长 AD 到 E，使 DE＝AD，并连接 CE。
中线与高重合
中线与角平分线重合
高与角平分线重合
第二种情况的辅助构造
证明怎样读：情况二还要使用本页前一条已证明的“等角对等边”。三种情况各自从给定的两个条件出发，不能互相借用已知条件。
先了解这些知识
三线合一的逆向判定（分三种情况）
△ABC 不退化，D 在 BC 内部；AD 为所讨论的同一条线段。以下三种情况独立讨论，不是同时给出三个条件；分别推出 AB＝AC，不能把上一种情况的直角或中点条件带到下一种。
情况一：中线与高重合
只用 BD＝DC、AD⊥BC。
中线与高重合
BD＝DC，AD 公共，D 处两角都为直角；SAS 判定两三角形全等。
情况二：中线与角平分线重合
只用 BD＝DC、∠BAD＝∠DAC；不沿用情况一的垂直条件。
中线与角平分线：作辅助点
以下改用 BD＝DC、∠BAD＝∠DAC。为了在 D 两侧构造 SAS 全等三角形，把 AD 倍长：延长到 E，使 DE＝AD，连接 CE；D 处对顶角相等，用 SAS 得到 AB＝EC、∠BAD＝∠CED。
中线与角平分线：转成等角
AE 与 AD 是同一条射线，EA 与 ED 是同一条射线。已知角平分关系和上步等角给出 ∠CAE＝∠AEC。
中线与角平分线：得到等腰
△ACE 中，等角对等边得到 AC＝EC，再结合 AB＝EC 得到 AB＝AC。
情况三：高与角平分线重合
只用 AD⊥BC、∠BAD＝∠DAC；不沿用中点条件。
高与角平分线重合
最后改用 D 处直角和 ∠BAD＝∠DAC，AD 为这两角的公共夹边；ASA 判定全等，再得到 AB＝AC。
理解时别漏掉：两条必须来自同一顶点并重合；不能仅凭三角形里各有一条高、一条中线就判定等腰。三个条件不必同时给出，任意两个完整条件即可。