三角形的内角与外角

本页目录内角和

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

内角和

使用条件：平面内不退化的三角形。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180°。

∠A、∠B、∠C 为 △ABC 的三个内角。

\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ

DE∥BC，D—A—E 共线。α、β、γ 依次为 ∠DAB、∠BAC、∠CAE。∠DAB＝∠ABC，∠CAE＝∠ACB，α＋β＋γ＝180°。

辅助平行线把三个内角集中到 A 点，形成一个平角；这就是作平行线的目的。

三角形内角和的证明

在 △ABC 中，过 A 作 DE∥BC，取 D—A—E，使 B、D 在 AC 所在直线的同侧。

作一条平行线
为在同一个顶点比较三个角，过 A 作 BC 的平行线。它把 B、C 处的角转到 A 点。
$DE\parallel BC$
用内错角相等
AB、AC 分别截两条平行线，得到两组相等的内错角。
$\begin{gathered}\angle DAB=\angle ABC\\\angle CAE=\angle ACB\end{gathered}$
相加得到平角
∠DAB、∠BAC、∠CAE 在直线 DE 同一侧组成平角，再代入前面的两个等角。
$\begin{gathered}\angle DAB+\angle BAC+\angle CAE\\=180^\circ\\\angle ABC+\angle BAC+\angle ACB\\=180^\circ\end{gathered}$

理解时别漏掉：两个角确定后，第三个角就确定了，但三角形的大小仍未确定。

使用条件：三角形的一边与相邻边的延长线组成外角。

外角定义：三角形的一边与相邻边的延长线所组成的角，叫作这个三角形的外角；它与该顶点的内角互为邻补角。

外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，并且大于这两个内角中的每一个。

在 △ABC 中，把 BC 经过 C 延长到 D，外角为 ∠ACD。

\angle ACD=\angle A+\angle B

B—C—D 依次共线；α＝∠ACD、β＝∠CAB、γ＝∠ABC，α＝β＋γ，不把相邻的 ∠ACB 加入两角和。

C 处外角与 ∠ACB 相邻并互补；外角定理相加的是 A、B 处的两个不相邻内角。

外角定理的证明

将 △ABC 的 BC 经过 C 延长到 D。

写出两个 180°
外角与相邻内角是邻补角，三个内角之和也是 180°。
$\begin{gathered}\angle ACD+\angle ACB=180^\circ\\\angle BAC+\angle ABC+\angle ACB\\=180^\circ\end{gathered}$
减去相邻内角
消去共同的 ∠ACB，得到两个不相邻内角之和。它们都大于 0°，所以外角大于其中每一个。
$\begin{gathered}\angle ACD=\angle BAC+\angle ABC\\\angle ACD>\angle BAC\\\angle ACD>\angle ABC\end{gathered}$

理解时别漏掉：“不相邻”是必要条件；不能把相邻内角也加进去。