相似与比例 · 定义与性质

黄金分割

The Golden Section

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义与性质

使用条件：点 C 在线段 AB 内部，将它分成 AC＞CB＞0 的两段。

定义：若较长段与整条线段的长度比，等于较短段与较长段的长度比，这种分割叫作黄金分割。

比值：较长段与全长的比为 (√5−1)/2；全长与较长段的比为 (1＋√5)/2。两者互为倒数。

符号表达

ACAB=CBAC=5−12\begin{gathered}\frac{AC}{AB}=\frac{CB}{AC}\\=\frac{\sqrt5-1}{2}\end{gathered}

黄金分割：AC 是较长段

AB＝5，AC/AB＝CB/AC＝(√5−1)/2。交换分段顺序会得到不同的比。

比是两个长度相除，先统一单位并确认顺序。黄金分割只是一种特定的内分比，不是任意分点。

证明怎样读：可以先理解黄金分割比较的两个比，再使用结论。下面的推导要用一元二次方程的求根公式；尚未学过时可先读定义，学过以后再读推导。

先了解这些知识

黄金分割比的推导

C 在线段 AB 内，AC 为较长段。把全长看成 1 份，只是在比较比例，并没有改变 AB 的实际长度；图例中的 AB 仍为 5。设 x＝AC/AB，则 CB/AB＝1−x。因为 AC 比 CB 长且小于全长，所以 1/2＜x＜1。

  1. 按定义列式

    较长段比全长，等于较短段比较长段。把各段长度都除以 AB，两个比就可以用 x 和 1−x 表示。

    ∵ACAB=CBAC∴x=1−xx\begin{gathered}\because\frac{AC}{AB}=\frac{CB}{AC}\\\therefore x=\frac{1-x}{x}\end{gathered}

  2. 解方程，舍去负值

    x＞0，两边乘 x 后得到 x²＝1−x。整理为一元二次方程，用求根公式得到两个解；其中一个为负，不能表示这里的长度比。

    x2+x−1=0x1=−1+52x2=−1−52<0∴x=x1=5−12\begin{gathered}x^2+x-1=0\\x_1=\frac{-1+\sqrt5}{2}\\x_2=\frac{-1-\sqrt5}{2}<0\\\therefore x=x_1=\frac{\sqrt5-1}{2}\end{gathered}

  3. 检查分点确实在线段内部

    正数还不够，还要满足一开始的范围。因为 √5 在 2 与 3 之间，减去 1 再除以 2，所得 x 在 1/2 与 1 之间。因此较长段超过一半、又没有超过全长，较短段也为正，符合所需分割。

    ∵2<5<3∴12<x<1\begin{gathered}\because 2<\sqrt5<3\\\therefore\frac12<x<1\end{gathered}

理解时别漏掉：约 0.618 是近似值，不是精确值。交换长段与短段，会改变所写的比。