相似与比例 · 定义、性质与三角形判定

相似图形的定义、性质与三角形判定

Similarity: Definitions, Properties and Triangle Criteria

本页目录一般相似图形

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

一般相似图形

使用条件：讨论同一平面内的图形，统一改变全部对应尺寸。

相似图形：一个平面图形按同一个正的倍数放大或缩小后，能经过平移、旋转、翻折或这些操作的组合与另一个完全重合，这两个图形叫作相似图形。相似不要求原位置、朝向或大小相同；全等是相似比为 1 的特殊情况。

不同大小的圆也相似

两圆半径分别为 1、1.5。先统一放大 1.5 倍，再平移圆心，就能完全重合；不需要圆心原先相同。

理解时别漏掉：圆的例子只说明定义；多边形还要检查整套对应关系，不能只比一个角或一条边。

相似多边形与对应关系

相似多边形的定义与对应关系

使用条件：两个顶点数相同的多边形，先按周向顺序建立对应关系。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

定义：对应角分别相等、对应边的长度成同一个比例的两个多边形，叫作相似多边形。

对应关系：相邻顶点对应相邻顶点；比较边和角时须使用同一套对应关系，不能逐项重新配对。

必要条件：对一般多边形，只知道对应角相等，或只知道对应边成比例，都不足以判定相似。

符号表达

四边形 ABCD 与 EFGH 相似，A、B、C、D 依次对应 E、F、G、H，k＞0；还需四组对应角相等。

ABEF=BCFG=CDGH=DAHE=k\begin{gathered}\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{FG}\\=\frac{CD}{GH}=\frac{DA}{HE}=k\end{gathered}

对应边比一致

矩形 ABCD 的边为 2、1；EFGH 为 3、1.5。按 ABCD 比 EFGH 的顺序，对应边比均为 2/3。

角相等，边比不一致

前图长宽为 2、1，后图为 3、2；按前图比后图的顺序，对应边比为 2/3 和 1/2，不相似。

第二幅图中所有角仍为直角，但边长比不是同一个数，所以仅有对应角相等不够判定多边形相似。

理解时别漏掉：AA 是三角形的判定，不是任意多边形的判定。

三角形的定义与相似比

使用条件：讨论两个不退化三角形；按对应顺序比较正的边长。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫作相似三角形；对应边长度的比叫作相似比。

理解时别漏掉：相似可以包含大小相同的情形；k＝1 时两个三角形全等。

性质

相似三角形的性质

使用条件：两个三角形相似；相似比按第一个三角形与第二个三角形的顺序确定，且为正数。

边与角：相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

对应线段：相似三角形对应高、中线和角平分线的长度比，都等于相似比。

符号表达

△ABC∽△DEF，按所写顶点顺序对应，△ABC 与 △DEF 的相似比为 k＞0。

ABDE=BCEF=CAFD=k\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k

理解时别漏掉：相似可以包含大小相同的情形；k＝1 时两个三角形全等。

相似图形的周长比与面积比

使用条件：两个平面图形相似，第一图与第二图的对应长度比为 k＞0。

周长比：相似图形的周长比等于相似比。

面积比：相似图形的面积比等于相似比的平方。

符号表达

L₁、S₁ 为第一个图形的周长、面积，L₂、S₂ 为第二个图形的周长、面积，对应长度比为 k。

L1L2=k,S1S2=k2\frac{L_1}{L_2}=k,\quad\frac{S_1}{S_2}=k^2

底和高都按同一个比例变化

△ABC∽△DEF，A、B、C 依次对应 D、E、F；AH⊥BC、DK⊥EF。本图 BC＝3、EF＝4.5、AH＝2、DK＝3，按第一图比第二图，相似比 k＝2/3，面积比为 4/9。

对应底边和对应高都乘同一个比例，面积式中就出现两个相乘的比例；周长只是边长相加，只有一个比例。

怎样理解

周长是边长相加，所有对应边都乘 k，相加后仍只乘一次 k。面积则同时由底和高决定：底乘 k，高也乘 k，两次相乘得到 k²。下面先推导三角形，再说明怎样分块推广到相似多边形。

先了解这些知识

三角形与多边形的周长比、面积比为什么不同

△ABC∽△DEF，按第一图比第二图，相似比为 k＞0。令 b₁＝BC、b₂＝EF；AH、DK 是对应高，长分别记为 h₁、h₂。L₁、S₁ 与 L₂、S₂ 分别是两图的周长、面积。下面先说明三角形，再将结论推广到多边形。

  1. 周长：把三条对应边相加

    相似给出 AB＝k·DE、BC＝k·EF、CA＝k·FD。三式相加，右边可以提出共同因数 k，因此周长也按 k 变化。

    L1=AB+BC+CA=k(DE+EF+FD)=kL2∴L1L2=k\begin{gathered}L_1=AB+BC+CA\\=k(DE+EF+FD)\\=kL_2\\\therefore\frac{L_1}{L_2}=k\end{gathered}

  2. 对应高也按同一个比例变化

    统一放大或缩小保留垂直关系。从 D 到 EF 的垂线段 DK，对应到从 A 到 BC 的垂线段 AH，因此 AH＝k·DK。底和高必须分别对应，不能只看两条斜边。

    b1=kb2h1=kh2\begin{gathered}b_1=kb_2\\h_1=kh_2\end{gathered}

  3. 面积：底和高的两个比例相乘

    把 b₁＝k·b₂、h₁＝k·h₂ 代入面积公式，得到 S₁＝k²·S₂。相似多边形可分成对应的相似三角形；各块面积都按 k² 变化，相加后总面积也按 k² 变化。

    S1=12b1h1=12(kb2)(kh2)=k2(12b2h2)=k2S2∴S1S2=k2\begin{gathered}S_1=\frac12 b_1h_1\\=\frac12(kb_2)(kh_2)\\=k^2\left(\frac12 b_2h_2\right)\\=k^2S_2\\\therefore\frac{S_1}{S_2}=k^2\end{gathered}

理解时别漏掉：面积是二维的；边长比为 2 时，面积比是 4 而不是 2。

判定

使用条件：比较两个三角形的两组对应角。

AA 相似判定：两角分别相等的两个三角形相似，简记为 AA（角角）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F。

∠A=∠D,∠B=∠E\angle A=\angle D,\quad\angle B=\angle E

AA：判定所需的条件

已知 ∠A＝∠D、∠B＝∠E，两组对应角相等；不需要先作缩放辅助图。

应用小例

另给条件：两个三角形中 ∠A＝∠D，∠B＝∠E。

选择方法：两组对应角相等，选 AA；按角的对应写顶点顺序。

理由：A 对应 D、B 对应 E，剩下 C 对应 F，所以 AB 对应 DE，AC 对应 DF。

结论：△ABC∽△DEF；可以得到 AB/DE＝AC/DF，但不能直接写 AB＝DE。

证明怎样读：可先学习怎样使用 AA。下面另选“同倍缩放＋全等”的解释：它以同倍缩放保角、各边按同一倍数变化为前提；学过“位似”后再读这份证明。

先了解这些知识

AA 相似判定：先缩放，再确认形状

已知 ∠A＝∠D、∠B＝∠E。两个三角形都不退化。想把比例问题换成相等问题：令 k＝AB/DE＞0，把 △DEF 以 D 为中心按同一个倍数 k 缩放成 △DGH。这份解释以同倍缩放保角、长度按同倍变化为前提，不调用任何相似判定；若还没学过缩放，可先阅读本证明前“先了解这些知识”中的“位似与比例尺”。G、H 在 DE、DF 的正向射线上；k＞1 时可以在线段外。

  1. 先让一组对应边相等

    同倍缩放把每条边长乘 k，保留对应角，因此 DG＝AB。图例取 k＜1 方便看；推导对 k＝1 和 k＞1 也适用。

    k=ABDE>0DG=k⋅DE=ABDH=k⋅DFGH=k⋅EF\begin{gathered}k=\frac{AB}{DE}>0\\DG=k\cdot DE=AB\\DH=k\cdot DF\\GH=k\cdot EF\end{gathered}

  2. 用 ASA 确认调整后的形状

    DG＝AB，缩放保留角，所以 ∠D＝∠A、∠DGH＝∠B；这两个角的夹边分别是 DG、AB。ASA 得到 △ABC≌△DGH。

    ∵∠A=∠D∠B=∠DGHAB=DG∴△ABC=∽△DGH(ASA)\begin{gathered}\because\angle A=\angle D\\\angle B=\angle DGH\\AB=DG\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle DGH\\(\mathrm{ASA})\end{gathered}

  3. 回到相似的定义

    △ABC 与调整后的 △DGH 全等；△DGH 是 △DEF 的同倍缩放。因此 △ABC 与 △DEF 对应角相等、对应边成同一个比例，符合相似定义。不是仅靠图形看起来同形。

    ∴△ABC∽△DEFABDE=ACDF=BCEF=k\begin{gathered}\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEF\\\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\\=\frac{BC}{EF}=k\end{gathered}

理解时别漏掉：两角只能确定形状，不能确定大小，因此不能用 AA 判定全等。

使用条件：比较两个三角形的两组对应边的比，以及这两边的夹角。

SAS 相似判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，简记为 SAS（边角边）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F；AB、AC 的夹角为 ∠BAC，DE、DF 的夹角为 ∠EDF。

ABDE=ACDF,∠BAC=∠EDF\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF},\quad\angle BAC=\angle EDF

SAS：判定所需的条件

已知 AB/DE＝AC/DF＝2/3，且夹角 ∠BAC＝∠EDF；这里边长成比例，不是边长相等。

怎样理解

两组对应边可以长短不同，但必须按同一个比例变化。与全等的 SAS 相比，边长相等被放宽为边长成比例，所以只确定相同的形状，不要求相同的大小。

证明怎样读：可先学习怎样使用 SAS 相似判定。下面的解释需要同倍缩放和 SAS 全等；若尚未学过位似，先看判定条件，之后再回来读证明。

先了解这些知识

SAS 相似判定：先缩放，再确认形状

已知 AB/DE＝AC/DF，且 ∠BAC＝∠EDF。两个三角形都不退化。想把比例问题换成相等问题：令 k＝AB/DE＞0，把 △DEF 以 D 为中心按同一个倍数 k 缩放成 △DGH。这份解释以同倍缩放保角、长度按同倍变化为前提，不调用任何相似判定；若还没学过缩放，可先阅读本证明前“先了解这些知识”中的“位似与比例尺”。G、H 在 DE、DF 的正向射线上；k＞1 时可以在线段外。

  1. 先让一组对应边相等

    同倍缩放把每条边长乘 k，保留对应角，因此 DG＝AB。图例取 k＜1 方便看；推导对 k＝1 和 k＞1 也适用。

    k=ABDE>0DG=k⋅DE=ABDH=k⋅DFGH=k⋅EF\begin{gathered}k=\frac{AB}{DE}>0\\DG=k\cdot DE=AB\\DH=k\cdot DF\\GH=k\cdot EF\end{gathered}

  2. 用 SAS 确认调整后的形状

    DG＝AB；DH＝k·DF，而已知 AC＝k·DF，所以 DH＝AC。夹角 ∠GDH＝∠EDF＝∠BAC，SAS 得到全等。

    ∵AB=DGAC=DH∠BAC=∠GDH∴△ABC=∽△DGH(SAS)\begin{gathered}\because AB=DG\\ AC=DH\\\angle BAC=\angle GDH\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle DGH\\(\mathrm{SAS})\end{gathered}

  3. 回到相似的定义

    △ABC 与调整后的 △DGH 全等；△DGH 是 △DEF 的同倍缩放。因此 △ABC 与 △DEF 对应角相等、对应边成同一个比例，符合相似定义。不是仅靠图形看起来同形。

    ∴△ABC∽△DEFABDE=ACDF=BCEF=k\begin{gathered}\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEF\\\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\\=\frac{BC}{EF}=k\end{gathered}

理解时别漏掉：同样缩写 SAS，遇到“全等”与“相似”时，边的条件不同。

使用条件：比较两个三角形的三组对应边的比。

SSS 相似判定：三边成比例的两个三角形相似，简记为 SSS（边边边）。

符号表达

△ABC 与 △DEF 中，A 对应 D、B 对应 E、C 对应 F；三个对应边的比相等。

ABDE=BCEF=CAFD\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}

SSS：判定所需的条件

已知 AB/DE＝BC/EF＝CA/FD＝2/3，三个对应边的比相同。

证明怎样读：可先学习怎样使用 SSS 相似判定。下面的解释需要同倍缩放和 SSS 全等；若尚未学过位似，先看判定条件，之后再回来读证明。

先了解这些知识

SSS 相似判定：先缩放，再确认形状

已知 AB/DE＝AC/DF＝BC/EF。两个三角形都不退化。想把比例问题换成相等问题：令 k＝AB/DE＞0，把 △DEF 以 D 为中心按同一个倍数 k 缩放成 △DGH。这份解释以同倍缩放保角、长度按同倍变化为前提，不调用任何相似判定；若还没学过缩放，可先阅读本证明前“先了解这些知识”中的“位似与比例尺”。G、H 在 DE、DF 的正向射线上；k＞1 时可以在线段外。

  1. 先让一组对应边相等

    同倍缩放把每条边长乘 k，保留对应角，因此 DG＝AB。图例取 k＜1 方便看；推导对 k＝1 和 k＞1 也适用。

    k=ABDE>0DG=k⋅DE=ABDH=k⋅DFGH=k⋅EF\begin{gathered}k=\frac{AB}{DE}>0\\DG=k\cdot DE=AB\\DH=k\cdot DF\\GH=k\cdot EF\end{gathered}

  2. 用 SSS 确认调整后的形状

    缩放后三边为 k·DE、k·DF、k·EF，分别等于 AB、AC、BC，SSS 得到 △ABC≌△DGH。

    ∵AB=DGAC=DHBC=GH∴△ABC=∽△DGH(SSS)\begin{gathered}\because AB=DG\\ AC=DH\\ BC=GH\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle DGH\\(\mathrm{SSS})\end{gathered}

  3. 回到相似的定义

    △ABC 与调整后的 △DGH 全等；△DGH 是 △DEF 的同倍缩放。因此 △ABC 与 △DEF 对应角相等、对应边成同一个比例，符合相似定义。不是仅靠图形看起来同形。

    ∴△ABC∽△DEFABDE=ACDF=BCEF=k\begin{gathered}\therefore\triangle ABC\sim\triangle DEF\\\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}\\=\frac{BC}{EF}=k\end{gathered}

理解时别漏掉：必须三个比相同；三个对应边分别相等是其中 k＝1 的特例。