相似与比例 · 线段的比与成比例、三角形中的平行截线、三条平行线与两条截线

线段比例与平行截线

Segment Ratios and Proportional Intercepts

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

线段的比与成比例

线段的比与成比例线段

使用条件：比较正长度的线段，所有长度先换成相同单位。

线段的比：两条线段长度的比叫作线段的比；比值与采用的统一长度单位无关。

成比例线段：四条线段按指定顺序组成的两个长度比相等，称这四条线段按该顺序成比例。

乘积关系：比例 a∶b＝c∶d 中，a、d 叫作外项，b、c 叫作内项。各项为正长度时，外项乘积 ad 等于内项乘积 bc；反过来，ad＝bc 也能推出这个比例。

符号表达

a、b、c、d 均为正的线段长；两式互相推出。

ab=cdad=bc\begin{gathered}\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\\ad=bc\end{gathered}

两个线段比均为 2∶3

AB＝2、CD＝3；EF＝4、GH＝6。因此 AB/CD＝EF/GH＝2/3，但 AB 不等于 EF。

长度不同的两组线段可以有相同的比。统一单位之后再相除，分子与分母的顺序不能随意交换。

理解时别漏掉：成比例依赖顺序。例如 a/b＝c/d 不能直接改成 a/c＝d/b。

三角形中的平行截线

使用条件：△ABC 不退化，D、E 分别在 AB、AC 内部；已知 DE∥BC。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

平行推出比例：平行于三角形一边的直线，与另外两边相交，截得的对应线段成比例。

符号表达

先已知平行，再比较对应线段。AD/AB、AE/AC 是部分比全长；AD/DB、AE/EC 是前段比后段。

∵DE∥BC∴ADDB=AEECADAB=AEAC=DEBC\begin{gathered}\because DE\parallel BC\\\therefore\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\end{gathered}

经过两边中点

AD＝DB，AE＝EC，因此 DE＝0.5BC。

对照：平行，但不是中位线

AD＝0.35AB，AE＝0.35AC，D、E 不是中点。本图不满足中位线的中点条件，不能用半长结论；这里 DE＝0.35BC。

两图的 DE 都平行于 BC。只有第一幅图的 D、E 是中点；第二幅图满足平行截线的比例关系，但不是中位线。

怎样理解

“对应”要按相同的顶点方向来找。平行截线不必经过中点。D、E 是中点时，AD/AB＝AE/AC＝1/2，因为分子是一半、分母是整条边；此时 AD/DB＝AE/EC＝1，因为这里比较的是两段等长的半边。先看清分子和分母，再判断比值。

先了解这些知识

性质：平行为什么能推出比例

△ABC 不退化，D、E 分别在 AB、AC 内部，已知 DE∥BC。先用平行提供等角，再比较 △ADE 与 △ABC；分段比和部分比全长分别计算。

  1. 平行提供两组对应角

    DE∥BC，AB、AC 分别作为截线，同位角相等。因此 ∠ADE＝∠ABC、∠AED＝∠ACB，按 AA 得到 △ADE∽△ABC，A、D、E 依次对应 A、B、C。

    ∵DE∥BC∠ADE=∠ABC∠AED=∠ACB∴△ADE∽△ABC (AA)\begin{gathered}\because DE\parallel BC\\\angle ADE=\angle ABC\\\angle AED=\angle ACB\\\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC\ (\mathrm{AA})\end{gathered}

  2. 相似给出部分比全长

    相似三角形的对应边成比例，因此 AD 比 AB、AE 比 AC、DE 比 BC 是同一个数。这些分母都是原三角形的整条边。

    ADAB=AEAC=DEBC\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}

  3. 再换成前段比后段

    把上一比值记为 k。D、E 在边内部，所以 0＜k＜1，AD＝k·AB、AE＝k·AC。用整条边减去前段，后段分别是 (1−k)·AB、(1−k)·AC；相除时约去各自的全长，就得到同一个分段比。

    AD=k⋅ABAE=k⋅ACDB=AB−AD=(1−k)ABEC=AC−AE=(1−k)AC∴ADDB=k1−k=AEEC\begin{gathered}AD=k\cdot AB\\AE=k\cdot AC\\DB=AB-AD\\=(1-k)AB\\EC=AC-AE\\=(1-k)AC\\\therefore\frac{AD}{DB}=\frac{k}{1-k}=\frac{AE}{EC}\end{gathered}

理解时别漏掉：两种比的分母不同；中点情况下，前段比后段为 1，部分比全长为 1/2。一般截线构型见本页下一分区。

使用条件：△ABC 不退化，D、E 分别在 AB、AC 内部；只已知 AD/DB＝AE/EC。

比例判定平行：三角形两边上的内分点使对应线段成比例时，连接这两点的直线平行于第三边。

符号表达

这里比较同一顶点方向的前段与后段；DE∥BC 是待证明的结论。

∵ADDB=AEEC∴DE∥BC\begin{gathered}\because\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\\\therefore DE\parallel BC\end{gathered}

判定：只给对应分段成比例

D、E 分别在 AB、AC 内部，已知 AD/DB＝AE/EC。图中不预标平行关系；用比例与 A 处的公共夹角判定相似，再推出 DE∥BC。

判定从 AD/DB＝AE/EC 出发；平行是要推出的结论，不能把平行标记当成已知。

怎样理解

把前段比后段换成小三角形边比大三角形边，就能与 A 处的公共夹角一起使用 SAS 相似判定。相似得到等角，最后才判定平行。

先了解这些知识

判定：比例为什么能推出平行

重新从 △ABC 与内分点 D、E 出发，只已知 AD/DB＝AE/EC，不预设 DE∥BC。要把分段比换成两三角形的对应边比，再使用夹角相等这一已有条件。

  1. 把分段比换成全长比

    各段长都为正，原比例取倒数后有 DB/AD＝EC/AE。利用 AB＝AD＋DB、AC＝AE＋EC，两边各加 1 就得到 AB/AD＝AC/AE；再取倒数。

    ∵DBAD=ECAEABAD=1+DBAD=1+ECAE=ACAE∴ADAB=AEAC\begin{gathered}\because\frac{DB}{AD}=\frac{EC}{AE}\\\frac{AB}{AD}=1+\frac{DB}{AD}\\=1+\frac{EC}{AE}=\frac{AC}{AE}\\\therefore\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\end{gathered}

  2. 对应边比与夹角判定相似

    D 在 AB 内部，E 在 AC 内部，所以 ∠DAE 就是 ∠BAC。上一等式给出两组对应边成比例，夹角也相等，按 SAS 得到 △ADE∽△ABC。

    ∵ADAB=AEAC∠DAE=∠BAC∴△ADE∽△ABC (SAS)\begin{gathered}\because\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\\\angle DAE=\angle BAC\\\therefore\triangle ADE\sim\triangle ABC\ (\mathrm{SAS})\end{gathered}

  3. 由对应角相等判定平行

    相似给出 ∠ADE＝∠ABC。这是直线 DE、BC 被 AB 所截形成的一对同位角，因此可以判定 DE∥BC。平行关系是这一步得到的结论。

    ∵∠ADE=∠ABC∴DE∥BC\begin{gathered}\because\angle ADE=\angle ABC\\\therefore DE\parallel BC\end{gathered}

理解时别漏掉：内分点的位置与对应顺序都是条件；不能换成两条任意线段的长度比。

三条平行线与两条截线

三条平行线的截线比例

使用条件：三条不同的平行直线分别与两条截线相交，三条平行线按同一顺序对应；各截点不同。

对应截段成比例：三条平行线截两条直线，所得对应线段的长度成比例。

等分推论：若三条平行线在一条截线上截得的相邻两段相等，则在另一条截线上截得的对应相邻两段也相等。

符号表达

三条平行线依次在两截线上截出 A、B、C 与 D、E、F；B、E 分别在两组点的中间。

ABBC=DEEF若 AB=BC, 则 DE=EF\begin{gathered}\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\\\text{若 }AB=BC,\ \text{则 }DE=EF\end{gathered}

相邻截段等长

AB∶BC＝DE∶EF；此图两个比都为 1∶1。

截得两段不等长

AB∶BC＝DE∶EF；此图两个比都为 1∶2。

同一条平行线上的两个截点互相对应；两条截线可以相交，也可以平行。

理解时别漏掉：对应关系由同一条平行线确定，不能仅按长短配对；截线本身不要求互相平行。