点、线与角 · 点与平面的认识、直线、射线与线段、直线、线段与射线的记法、两点间距离、两点确定直线 · 基本事实、线段的中点、线段的和与差

点、线与平面的基本认识

Points, Lines, Rays, Segments and Planes

本页目录点与平面的认识

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

点与平面的认识

使用条件：从直观模型认识几何对象，不给几何点指定物理大小。

点的认识：几何中的点表示位置，不计大小；常用大写字母命名。图中的小圆点是表示位置的符号，不是点本身具有的大小。

平面的认识：几何中的平面没有厚度，向各个方向无限延伸。纸面、桌面可帮助想象平面，图上画出的有边界部分只是平面的一部分。

点表示位置，不是小圆的面积

A 表示一个位置；画出的实心点方便看见，并不表示几何点有大小。

画出的框只表示平面的一部分

示意框中的 P 是平面上的点；平面没有这些有限边界，也没有厚度。

直线、射线与线段

直线、线段与射线的记法

使用条件：用不同的点 A、B 命名；先区分对象类型，再看字母顺序。

线段与直线的记法：线段 AB 与线段 BA 是同一条线段；直线 AB 与直线 BA 是同一条直线。必须结合“线段”或“直线”等名称辨认对象，AB 在长度关系中也可表示线段长。

射线的记法：射线 AB 的第一个字母 A 表示端点，B 是射线上的另一点；从 A 出发经过 B 继续延伸。A、B 不重合时，射线 AB 与射线 BA 不是同一条射线。

两点间距离

使用条件：同一平面内的两个点，重合时单独说明。

两点间距离：连接两个不同点的线段的长度，叫作这两点间的距离；两点重合时，距离为 0。

符号表达

d 表示 A、B 两点间的距离；A、B 不重合时 AB 表示连接它们的线段长度。

A≠B 时，d=ABA=B 时，d=0\begin{gathered}A\ne B\text{ 时，}d=AB\\A=B\text{ 时，}d=0\end{gathered}

距离：测量直达线段

两点 A、B 的距离是线段 AB 的长度，不是经过其他点绕行的路程。

理解时别漏掉：距离取直达线段的长度，不把绕行的折线路程当作两点间距离。

两点确定直线 · 基本事实

使用条件：两个点不重合。

两点确定一条直线：经过两个不同的点，有且只有一条直线。

符号表达

A≠BA\ne B

理解时别漏掉：一个点不能确定一条直线；重合的两点也不能。

线段的中点

使用条件：M 在线段 AB 上，且 AM＝MB。

中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫作这条线段的中点。

符号表达

M 为线段 AB 的中点。

AM=MB=12ABAM=MB=\frac12 AB

中点：比较两段长度

M 在线段 AB 上，AM＝MB。

中点必须在线段上，并把线段分成两段等长的线段。

理解时别漏掉：等距但不在线段上的点，不是中点。

线段的和与差

使用条件：A、B、C 是同一直线上的三个不同点，且 B 在 A、C 之间。

线段的和：中间点把整条线段分成两部分，两部分的长度之和等于整条线段的长度。

线段的差：整条线段的长度减去其中一部分的长度，等于另一部分的长度。

符号表达

点序为 A—B—C。

AB+BC=ACAB=AC−BC\begin{gathered}AB+BC=AC\\AB=AC-BC\end{gathered}

B 在 A、C 之间

AB＋BC＝AC；整体是 AC。

B 在 C 的外侧

AC＋CB＝AB；整体改为 AB。

线段相加先找“中间点”。三点即使共线，也不能始终把 AC 当作整体。

理解时别漏掉：共线还不够，必须确认哪个点在中间；点序改变，作为整体的线段也会改变。