变换与坐标 · 定义、性质、判定与坐标表达

轴对称与中心对称

Reflection and Central Symmetry

本页目录对称图形的定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

对称图形的定义

轴对称图形与中心对称图形

使用条件：研究一个图形变换后能否与自身重合。

轴对称图形：一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是它的对称轴。

中心对称图形：一个图形绕某点旋转 180° 后与自身重合，则这个图形是中心对称图形，这个点是它的对称中心。

符号表达

中心对称对应的旋转角为 180∘\text{中心对称对应的旋转角为 }180^\circ

正方形：四条对称轴

虚线为对称轴，O 是对称中心。

一般平行四边形：没有对称轴

绕 O 旋转 180° 重合；虚线是对角线，不是对称轴。

轴对称与中心对称是不同性质。正方形两者都有；一般平行四边形只有中心对称。

理解时别漏掉：“两个图形成轴对称”描述两个图形的关系；“一个轴对称图形”描述该图形自身的性质。中心对称不必具有对称轴。

两个图形的轴对称关系

使用条件：讨论两个平面图形与指定直线。

轴对称关系定义：两个平面图形中的一个沿一条指定直线翻折后，能与另一个完全重合，称这两个图形关于该直线轴对称；这条直线叫作它们的对称轴。这里讨论两个图形的关系，不是一个图形自身是否为轴对称图形。

理解时别漏掉：成轴对称关系的两个图形，各自不一定是轴对称图形；判定整个图形要满足全部点的对应，不是一对点。

轴对称的性质

使用条件：已知两个图形关于直线 ℓ 轴对称。

对应点：对于轴外的一对对应点，对称轴是它们连线的垂直平分线；轴上的点对称后仍在原处。

长度与角度：轴对称图形的对应线段相等、对应角相等，原图形与对称后的图形全等。

符号表达

A 与 A′ 关于直线 l 对称；P 为 l 上任意一点。

PA=PA′(P 在 l 上)PA=PA'\quad(P\text{ 在 }l\text{ 上})

关于竖直直线的轴对称

A、A′到对称轴的垂足都是 H，AH＝HA′；两图形的对应顶点在轴的两侧。

对应点的连线被对称轴垂直平分；对称轴上的点不移动。

理解时别漏掉：轴上的点反射后仍在原处；对称轴外的对应点位于轴的两侧。

使用条件：指定直线 ℓ，先检查两个点与 ℓ 的位置关系；不预先假定对称。

对应点判定：对于两个不同的点，若一条直线是连接这两点的线段的垂直平分线，则两点关于这条直线轴对称；直线上的点与自身对应。

符号表达

A、A′不同时，H 为 ℓ 与 AA′的交点；重合时单独检查点是否在轴上。

AH=HA′,AA′⊥ℓA、A′关于 ℓ 轴对称\begin{gathered}AH=HA',\quad AA'\perp\ell\\\text{A、A′关于 ℓ 轴对称}\end{gathered}

对应点：同一条中垂线

ℓ 垂直平分 AA′，H 为中点和垂足；A、A′因而关于 ℓ 对称。

轴上的点：与自身对应

A 就在对称轴 ℓ 上，A′与 A 重合；不能给零长度 AA′再作垂直平分线。

理解时别漏掉：轴上的点反射后仍在原处；对称轴外的对应点位于轴的两侧。

使用条件：同一条指定直线、沿边界建立一致的全部顶点对应；允许顺时针方向对应逆时针方向。

多边形判定：两个多边形沿边界建立一致的顶点对应，允许顺时针方向对应逆时针方向。若每一对不同对应顶点的连线都被同一条指定直线垂直平分，重合的对应顶点都在这条直线上，则两个多边形关于这条直线轴对称。

符号表达

示例中 A 对应 A′、B 对应 B′、C 对应 C′。

所有顶点都对应同一条轴

三对对应顶点的连线都被同一条 ℓ 垂直平分。不同数量的刻痕只比较各自的一对半段。

一对正确，不代表整个图形正确

A、A′关于 ℓ 对称，但 C′不在 C 的对称位置上；不能仅凭一对顶点判定两三角形轴对称。

理解时别漏掉：只验证一对顶点不够。对多边形检查全部对应顶点和同一条轴；重合的对应顶点必须就在轴上。

两个图形的中心对称关系

使用条件：讨论两个平面图形与指定点 O。

中心对称关系定义：两个平面图形中的一个绕指定点 O 旋转 180° 后，能与另一个完全重合，称这两个图形关于 O 中心对称；O 叫作它们的对称中心。这里讨论两个图形的关系，不是一个图形自身是否为中心对称图形。

理解时别漏掉：成中心对称关系的两个图形，各自不一定是中心对称图形；不能只比较一个对应点对。

使用条件：已知两个图形关于点 O 中心对称。

性质：对于对称中心以外的一对对应点，它们的连线经过对称中心，并且被对称中心平分；中心本身保持不动。中心对称保持长度和角度，原图形与对称后的图形全等。

符号表达

A、A′ 为不同于中心 O 的一对对应点，O 为 AA′ 的中点。

OA=OA′OA=OA'

关于点 O 的中心对称

A、O、A′依次共线，OA＝OA′；B、C 的对应点也满足同样关系。

对应点、中心共线，且中心是对应点连线的中点；这等于绕中心转 180°。

理解时别漏掉：轴对称用一条直线，中心对称用一个点；两者不能混同。

使用条件：给定同一个中心 O，先检查两点及其连线；不预先假定对称。

对应点判定：对于两个不同的点，若指定点 O 是它们所连线段的中点，则这两个点关于 O 中心对称；O 与自身对应。

符号表达

下式用于 A≠A′；重合时只能有 A＝A′＝O，不能沿用非零线段的作图。

A,O,A′ 依次共线OA=OA′\begin{gathered}A,O,A'\text{ 依次共线}\\OA=OA'\end{gathered}

对应点：同一个中点

A、O、A′依次共线，OA＝OA′；O 是 AA′中点，两点关于 O 中心对称。

中心本身：与自身对应

A 就是中心 O，A′也只能是 O；不把零长度线段的中点当作需要新作的对象。

理解时别漏掉：仅有 OA＝OA′不够，还要 A、O、A′共线且 O 在中间。重合的对应点只能是中心 O。

使用条件：同一个指定点 O、按周向顺序建立的全部对应顶点；每一对都要符合条件。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

多边形判定：两个多边形按同一顺序建立顶点对应，若同一个指定点 O 是每一对不同对应顶点所连线段的中点，重合的对应顶点只能是 O，则两个多边形关于 O 中心对称。

符号表达

示例中 A 对应 A′、B 对应 B′、C 对应 C′。

所有对应点共用同一个中心

每对顶点的连线都被同一个 O 平分，两三角形才关于 O 中心对称。刻痕的数量区分不同对应点对。

不能只检查一对顶点

O 是 AA′中点，但 C、C′的中点不是 O；这两个三角形不关于 O 中心对称。

理解时别漏掉：不能为每一对顶点另选中心，也不能只验证一对。重合的对应顶点只能是 O。

怎样作出轴对称图形

使用条件：已指定同一条对称轴，纸面逐个作对应顶点。

作轴对称图形：对轴外的顶点，作到对称轴的垂线，沿这条垂线在轴的另一侧取到轴距离相等的对应点；轴上的点与自身对应。把全部对应顶点按原边的连接关系连起来。

理解时别漏掉：轴上的点不移动；不只检查一个顶点。可参考本页“两个图形的轴对称关系”分区中的对应点图，核对作法。

常见图形的对称轴与中心

常见图形的对称轴与对称中心

使用条件：以下图形均不退化；特别区分一般图形与其特殊情况。

不退化：线段的两个端点不同；多边形仍围成有面积的区域，不能压成线段。

三角形：非等边的等腰三角形只有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴；三角形都不是中心对称图形。

矩形与菱形：非正方形的矩形有两条对称轴，分别经过两组对边的中点；非正方形的菱形有两条对称轴，是两条对角线所在的直线。

正方形：正方形有四条对称轴：两条对角线所在直线，以及经过两组对边中点的两条直线。

平行四边形：平行四边形以对角线交点为对称中心；既不是矩形也不是菱形的平行四边形没有对称轴。

等腰梯形与圆：等腰梯形有一条对称轴，即经过两底中点的直线，但没有对称中心；圆有无数条对称轴，对称中心是圆心。

符号表达

正方形：4 条对称轴圆：无数条对称轴\begin{gathered}\text{正方形：4 条对称轴}\\\text{圆：无数条对称轴}\end{gathered}

理解时别漏掉：矩形、菱形和正方形也都是平行四边形，因此都有对称中心；梯形采用有且仅有一组对边平行的定义。

对称的坐标表达

使用条件：平面直角坐标系内，原点为 O，P 的坐标为 (x,y)。

关于 x 轴对称：关于 x 轴对称为 (x,−y)。

关于 y 轴对称：关于 y 轴对称为 (−x,y)。

关于原点对称：关于原点对称为 (−x,−y)。

符号表达

P′ 表示对应的对称点。

关于 x 轴：P′(x,−y)关于 y 轴：P′(−x,y)关于原点：P′(−x,−y)\begin{alignedat}{2}&\text{关于 }x\text{ 轴：}\quad&&P'(x,-y)\\&\text{关于 }y\text{ 轴：}\quad&&P'(-x,y)\\&\text{关于原点：}\quad&&P'(-x,-y)\end{alignedat}

理解时别漏掉：关于坐标轴对称与关于原点的中心对称是不同变换，不能混用坐标规则。