变换与坐标 · 数轴与坐标系定义、坐标与象限、建系、描点与读坐标、两点间距离、中点坐标

坐标与距离

Coordinates, Distances, and Midpoints

本页目录数轴与坐标系定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

数轴与坐标系定义

使用条件：先规定原点、方向和单位；本文两坐标轴使用相同单位长度。

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线，叫作数轴；数的位置按这个约定确定。数轴上的箭头通常表示正方向，不表示只有箭头那一侧才无限延伸。

坐标系定义：在平面内，两条互相垂直、具有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。本文使用相同的单位长度，以便直接比较几何长度。

原点：两条坐标轴的公共原点叫作坐标原点，通常记为 O，它的坐标是 (0,0)。

坐标轴的名称：通常把水平的数轴叫作 x 轴或横轴，向右为正；把竖直的数轴叫作 y 轴或纵轴，向上为正。坐标先写横坐标，再写纵坐标。

数轴：先规定三件事

O 是原点，箭头向右表示正方向；每一格为一个单位。整条数轴向两端无限延伸。

坐标与象限

平面直角坐标系

使用条件：在平面内建立直角坐标系；本页的几何计算使用两轴相同的单位长度。

有序数对：点的有序数对 (x,y) 中，x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

轴上点的坐标：x 轴上 y＝0，y 轴上 x＝0。

象限：四个象限从右上方的第一象限起，按逆时针编号。

象限内坐标符号：第一象限横、纵坐标都为正；第二象限横负纵正；第三象限都为负；第四象限横正纵负。

符号表达

I:(+,+),II:(−,+)III:(−,−),IV:(+,−)\begin{gathered}\mathrm{I}:(+,+),\quad\mathrm{II}:(-,+)\\\mathrm{III}:(-,-),\quad\mathrm{IV}:(+,-)\end{gathered}

坐标轴与四个象限

P 在第一象限，横、纵坐标均为正；原点 O 在两条坐标轴上。

数对先写横坐标，再写纵坐标。坐标轴上的点不属于任何象限。

理解时别漏掉：坐标轴上的点不属于任何象限；(x,y) 和 (y,x) 通常不是同一个点。

建系、描点与读坐标

使用条件：坐标系已选定，不能在计算过程中改换原点或单位。

建立坐标系：先选原点，再选两条互相垂直的坐标轴、正方向和单位长度。研究矩形等图形时，可把一个顶点选作原点，让相邻两边所在直线作坐标轴；选择须写明，不能凭图猜。

描点：描出点 (x,y) 时，先按横坐标找到水平位置，再按纵坐标确定竖直位置；负数向负方向数单位。相同坐标对应同一个点。

读坐标：从点向两轴作垂线，按已规定的单位读取横、纵位置，依次写成 (x,y)。不能把纸面厘米数直接当坐标，也不能交换两个数的顺序。

先横后纵：P(2,1)

每格一个单位。向右两个单位、向上一个单位找到 P；两条虚线是读横、纵坐标的辅助线。

使用条件：ABCD 已知是边长 a＞0 的正方形。

正方形的建系例：边长为 a 的正方形 ABCD，可取 A 为原点，AB、AD 所在直线分别为 x、y 轴，沿 AB、AD 为正方向。于是 A(0,0)、B(a,0)、C(a,a)、D(0,a)，其中 a＞0 且两轴单位相同。

符号表达

A(0,0),B(a,0)C(a,a),D(0,a)\begin{gathered}A(0,0),\quad B(a,0)\\C(a,a),\quad D(0,a)\end{gathered}

选正方形顶点作原点

本例边长 2；O 与 A 重合，AB、AD 所在直线作两轴，B(2,0)、C(2,2)、D(0,2)。

两点间距离

使用条件：A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，坐标单位一致。

坐标中的距离：两点间距离可用勾股定理求得。同水平线或同竖直线时，分别是横坐标或纵坐标差的绝对值。

符号表达

同水平线：AB=∣x2−x1∣同竖直线：AB=∣y2−y1∣一般位置：AB=(x2−x1)2+(y2−y1)2\begin{gathered}\text{同水平线：}\quad AB=|x_2-x_1|\\\text{同竖直线：}\quad AB=|y_2-y_1|\\\text{一般位置：}\\AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}\end{gathered}

用勾股定理计算距离

A(−2,−1)、B(2,2)，H(2,−1)；AH＝4、BH＝3，所以 AB＝5。

横向差和纵向差是直角边，AB 是斜边。坐标轴必须使用相同的单位长度。

怎样理解

初读坐标时，可以先掌握同水平线、同竖直线的距离：数出两点相差多少个单位，距离取非负值。一般位置要把横向差和纵向差看作直角三角形的两条直角边，再用勾股定理求斜边。若还没有学过勾股定理，先读前两种情况，学过后再回来看一般公式与配图。

先了解这些知识

理解时别漏掉：公式中的平方根取非负值；不能只相加两个坐标差。

中点坐标

线段中点的坐标

使用条件：平面直角坐标系中，A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂) 为两个不同点，M 为 AB 的中点。

横坐标：中点的横坐标等于两个端点横坐标的平均数。

纵坐标：中点的纵坐标等于两个端点纵坐标的平均数。

符号表达

M(x1+x22,y1+y22)M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)

中点的两个坐标分别取平均

A(−2,−1)、B(2,2) 的中点是 M(0,0.5)。

中点的横、纵坐标分别取两个端点相应坐标的平均数。

理解时别漏掉：两个坐标分别求平均，不把横坐标与纵坐标混加；公式是中点定义在坐标中的表达，不涉及有向线段。