旋转的性质与坐标表达

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义与三个要素

使用条件：讨论平面内绕指定点的同一次旋转。

旋转定义：在平面内，把图形绕一个固定点按同一方向转过同样的角度，这样的图形运动叫作旋转；固定点保持不动。

旋转中心：旋转时保持不动的指定点，叫作旋转中心。

旋转方向：在平面中，应说明顺时针还是逆时针；同一个中心和角度配上不同方向，通常得到不同位置。

旋转角：图形上不在旋转中心的点，与它的对应点到中心的连线按指定方向转过的角，叫作旋转角。角为 0° 或整周时图形回到原位，180° 的两种方向得到相同位置。

使用条件：图形绕同一中心 O，按相同方向旋转相同角度。

性质：旋转保持长度和角度，旋转后的图形与原图形全等。每一对对应点到旋转中心的距离相等；除中心外，每一对对应点的旋转角相同。旋转中心保持不动。

O 为旋转中心，A、B 与 A′、B′ 分别为同一次旋转前后的对应点。

\begin{gathered}OA=OA',\quad OB=OB'\\AB=A'B'\end{gathered}

△ABC 绕 O 逆时针旋转 90°；OA＝OA′，∠AOA′＝90°。

P(1,2) 绕原点转 90°：逆时针到 P′(−2,1)，顺时针到 P″(2,−1)。

每个对应点到中心的距离不变，转动方向和角度相同；旋转中心保持不动。

理解时别漏掉：对 A 与 P 应用同一次旋转，才可得到 AP＝A′P′。

使用条件：纸面给定中心、方向和角度；逐个取对应顶点。

作旋转图形：对每个不在中心的顶点，先把它与中心连线，按指定方向作指定角，再在新射线上取到中心距离相等的对应点；中心本身不移动，最后按原顺序连接。

理解时别漏掉：方向不能省；半周与整周的特殊情况按定义处理。中心点不能用两个重合点再命名一条射线。

使用条件：两坐标轴采用相同单位长度；旋转中心是原点 O，旋转角为 90°。

绕原点转 90°：在两轴单位长度相同的直角坐标系中，绕原点逆时针旋转 90°，点 (x,y) 的对应点为 (−y,x)；顺时针旋转 90°，对应点为 (y,−x)。

P 的坐标为 (x,y)，P′ 为旋转后的对应点。

\begin{alignedat}{2}&\text{逆时针：}\quad&&P'(-y,x)\\&\text{顺时针：}\quad&&P'(y,-x)\end{alignedat}

理解时别漏掉：这里只适用于绕原点转 90°，不能直接用于其他旋转中心或角度。