三角形的基本概念、分类与面积

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：讨论平面内的不退化三角形。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

三角形：由三个不共线的点及依次连接它们的三条线段围成的平面图形，叫作三角形；这三个点叫作顶点，三条线段叫作边。

符号表达

A、B、C 不共线，AB、BC、CA 为三边。

三点不共线，三边围成三角形

A、B、C 是三个不共线的顶点；AB、BC、CA 是三条边。没有给等边或直角条件。

按边与按角分类

三角形的分类

使用条件：讨论平面内的不退化三角形。

按边分类：三边都不相等的三角形叫作不等边三角形；至少有两边相等的三角形叫作等腰三角形；三边相等的三角形叫作等边三角形，它是等腰三角形的特殊情况。

按角分类：三个角都是锐角的三角形叫作锐角三角形；有一个直角的叫作直角三角形；有一个钝角的叫作钝角三角形。

符号表达

\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ

理解时别漏掉：按边与按角是两种不同的分类方式；一个三角形可以同时是等腰三角形和直角三角形。

高、中线与角平分线

三角形的高、中线与角平分线

使用条件：讨论不退化三角形的顶点、对边和内角。

高：从一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高。

中线：连接顶点与对边中点的线段，叫作三角形的中线。

角平分线：一个内角的平分线与对边相交，顶点到交点的线段叫作三角形的角平分线。

符号表达

△ABC 中，D 为 BC 的中点，AD 为这条边上的中线。

BD=DC\quad\text{（AD 为中线）}

高 AH

AH⊥BC，不要求 BH＝HC。

中线 AD

BD＝DC，不要求 AD⊥BC。

角平分线 AE

∠BAE＝∠EAC，一般不平分 BC。

三条线段的定义不同：高看垂直，中线看对边中点，角平分线看顶角等分。本图三者不重合；等腰三角形顶角处可以三线合一。

理解时别漏掉：钝角三角形有两条高在三角形外；直角三角形的两条高分别与两条直角边重合。高、中线和角平分线不要求重合。

不同三角形中的高

使用条件：高的垂足取在对边所在直线上，不要求在线段内部。

钝角三角形：两条高在外部

∠B 为钝角。H 在 BC 经过 B 的延长线上，K 在 AB 经过 B 的延长线上；AH⊥BC、CK⊥AB，AH、CK 都是高。

直角三角形：高可以就是边

∠B＝90°。从 A 引出的高是 AB，从 C 引出的高是 CB，它们分别与两条直角边重合；从 B 向斜边 AC 作的高为 BT。

高可以位于三角形外，也可以与一条边重合；判断依据始终是顶点到对边所在直线的垂直线段。垂足是点，不是高这条线段。

怎样理解

钝角三角形有两条高在三角形外，另一条高在内部；直角三角形有两条高与两条直角边重合。不论高画在哪里，它都是从顶点到对边所在直线的垂直线段，不能只凭图形姿态辨认。

面积与面积比

使用条件：b 是所选底边的长，h 是到这条底边所在直线的垂直距离。

面积公式：三角形的面积等于底与这条底边上高的乘积的一半。

符号表达

b 是底边长，h 是这条底边上的高；底与高的长度单位相同。

S=\frac12 bh

同底等高：两个三角形等积

C、D 在平行于 AB 的直线上，△ABC、△ABD 同底 AB、等高，所以面积相等。

面积比较的是同一底和对应的垂直高度，不是斜边的长度。

怎样理解

选择底边之后，高也随之确定：它是对面顶点到底边所在直线的垂直距离，而不是任选一条从顶点引出的线段。

理解时别漏掉：高的垂足可以落在底边延长线上；任意斜边长不能当作高。

使用条件：两个三角形的高相等，底边长和面积都为正。

同高三角形：面积比等于底边比。

符号表达

S₁、S₂ 分别为 △ABC、△ACD 的面积，两个三角形共有的高为 AC。

\begin{gathered}S_1=\frac12 BC\cdot AC\\S_2=\frac12 CD\cdot AC\\\frac{S_1}{S_2}=\frac{BC}{CD}\end{gathered}

高相同，底边不同

BC＝2、CD＝4，AC＝3 且 AC⊥BD。S₁ 是 △ABC 的面积，为 3；S₂ 是 △ACD 的面积，为 6。面积比 3∶6 等于底边比 2∶4。

怎样理解

两个面积式都含有同一个因数：高的一半。相除后，这个相同因数约去，留下两条底边的比。底边越长，面积按同样的倍数增加。

理解时别漏掉：同高不要求同底；本图的两个底边长分别为 2、4，面积并不相等。

使用条件：两个三角形使用同一底边，或使用等长的底边；高和面积都为正。

同底三角形：面积比等于对应高的比。

符号表达

S₁、S₂ 分别为 △ABC、△DBC 的面积，共同底边为 BC；对应高分别为 AH、DK。

\begin{gathered}S_1=\frac12 BC\cdot AH\\S_2=\frac12 BC\cdot DK\\\frac{S_1}{S_2}=\frac{AH}{DK}\end{gathered}

底边相同，高不同

两三角形都以 BC 为底，BC＝4；AH⊥BC、DK⊥BC，AH＝2、DK＝4。S₁ 是 △ABC 的面积，为 4；S₂ 是 △DBC 的面积，为 8，面积比等于高之比。

怎样理解

这次相同的因数是底边的一半。两个面积相除后，留下对应高的比。要比较的是垂直高度，而不是顶点到底边端点的斜线段。

理解时别漏掉：先为两个三角形选定等长的底，再找各自与底垂直的高。