勾股定理与逆定理

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理

使用条件：直角三角形中 a、b 为两条直角边，c 为斜边。

勾股定理：两条直角边的平方和等于斜边的平方。

a^2+b^2=c^2

AE＝a、EB＝b、EF＝c；外框边长为 a＋b。α＝∠AEH，β＝∠BEF，是全等直角三角形的两个锐角；中间四边形的直角需在证明中确认。图中取 a＝2、b＝3，仅用于显示同一拼法。

证明使用的是一般的 a、b、c 与面积相加；图中具体的 2、3 不是证明条件，也不能用量图代替推导。

证明怎样读：先分清两条直角边与斜边，再使用公式。下面是面积证明；需要会算三角形、正方形的面积，并理解正方形的判定。

勾股定理的面积证明

四个全等直角三角形的直角边为 a、b，斜边为 c。将它们排在边长 a＋b 的正方形四角，斜边围出中间的四边形。

确认中间是正方形
中间四条边都是 c。看 E 点：α＝∠AEH、β＝∠BEF，它们分别是全等直角三角形的两个锐角，所以 α＋β＝90°。α、∠HEF、β 组成平角，故 ∠HEF＝90°。其余三个角同理，中间四边形才被证明为正方形。
$\begin{gathered}\alpha+\beta=90^\circ\\180^\circ-(\alpha+\beta)=90^\circ\end{gathered}$
两种方法算总面积
大正方形面积等于四个直角三角形面积与中间正方形面积之和。
$(a+b)^2=4\cdot\frac12 ab+c^2$
展开并消去相同项
展开左边，消去 2ab，便得到一般关系，不是从画布读数猜出。
$\begin{gathered}a^2+2ab+b^2=2ab+c^2\\a^2+b^2=c^2\end{gathered}$

理解时别漏掉：先确认直角，再找斜边；不能在任意三角形中直接使用。

使用条件：一个三角形的两条较短边的平方和，等于最长边的平方。

勾股定理的逆定理：如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，第三边所对的角为直角。

△ABC 中，a、b、c 分别为 BC、CA、AB 的长，c 为最长边。

\begin{gathered}\text{若 }a^2+b^2=c^2\\\text{则 }\angle C=90^\circ\end{gathered}

△ABC 只给 CA＝b、BC＝a、AB＝c，且 a²＋b²＝c²，不预标直角。△DEF 是另作的辅助直角三角形，FD＝b、FE＝a；先证明 DE＝c，再用 SSS。

逆定理为什么能判出直角

△ABC 中 BC＝a、CA＝b、AB＝c，a²＋b²＝c²，只已知边长关系，不预设 ∠C＝90°。另作直角三角形 DEF，使 ∠F＝90°、EF＝a、FD＝b；先找一个能比较的直角三角形。

先求辅助三角形的斜边
DEF 已按直角条件作出，可以使用勾股定理。DE²＝a²＋b²＝c²，DE 与 c 都是正长度，因此 DE＝c＝AB。
$\begin{gathered}\because DE^2=a^2+b^2=c^2\\ DE>0,\quad c>0\\\therefore DE=c=AB\end{gathered}$
三边相等给出同样的角
BC＝EF、CA＝FD 是作图得到的，AB＝DE 已证明，SSS 给出 △ABC≌△DEF；对应角 ∠C＝∠F＝90°。这样才确认原三角形为直角三角形。
$\begin{gathered}\because BC=EF\\ CA=FD\\ AB=DE\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle DEF\\(\mathrm{SSS})\\\angle C=\angle F=90^\circ\end{gathered}$

理解时别漏掉：它用于从边长判定直角，不是从已知直角求边长。