四边形与多边形 · 定义、性质、判定与度量

正方形的定义、性质与判定

Squares: Definition, Properties and Criteria

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

正方形：四边相等、四个角都是直角的四边形叫作正方形，它同时是矩形和菱形。

性质

使用条件：已知不退化凸四边形是正方形。

不退化：四个顶点不同，并按边界顺序围成有面积的凸四边形，相邻三点不共线。

凸四边形：边不交叉、四个内角都小于 180° 的四边形。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

性质：正方形的四边相等，四角为直角，两条对角线相等、互相垂直平分，并且各自平分一组对角。

符号表达

正方形 ABCD 的顶点按周向顺序命名，AC、BD 为两条对角线。

AC=BD,AC⊥BDAC=BD,\quad AC\perp BD

正方形的边、角与对角线

已知正方形 ABCD，四边相等，四角为直角；两条对角线相等且垂直平分。

矩形和菱形的判定路线不同。图注写出完整前提，图中的标记不提前加入待推出的关系。

先了解这些知识

正方形的性质为什么兼有两类

正方形 ABCD 四边相等、四角为直角，对角线 AC、BD 交于 O。因此它既符合矩形定义，也符合菱形判定；以下使用已经证明的两类性质。

  1. 明确两个身份

    四个直角给出矩形；四边相等给出菱形，不是凭外形叫它正方形。

    ∵∠A=∠B=90∘∠C=∠D=90∘AB=BC=CD=DA∴ABCD 是矩形ABCD 是菱形\begin{gathered}\because\angle A=\angle B=90^\circ\\\angle C=\angle D=90^\circ\\AB=BC=CD=DA\\\therefore ABCD\text{ 是矩形}\\ABCD\text{ 是菱形}\end{gathered}

  2. 分别使用已经证明的性质

    矩形给对角线相等；菱形给垂直和平分角；两者都是平行四边形，故对角线互相平分。

    ∴AC=BDAC⊥BDAO=COBO=DO\begin{gathered}\therefore AC=BD\\ AC\perp BD\\AO=CO\\ BO=DO\end{gathered}

理解时别漏掉：正方形满足矩形和菱形的全部性质；正方形边长为 a 时，对角线长 a√2。

判定

使用条件：已知矩形，另给一组相等邻边。

矩形与相等邻边：有一组邻边相等的矩形是正方形。

判定：矩形＋邻边相等

已知 ABCD 是矩形，另有 AB＝BC，判定为正方形。

先了解这些知识

相等邻边的矩形为何是正方形

已知矩形 ABCD，另有 AB＝BC。

  1. 用矩形对边相等

    AB＝CD，BC＝AD，再结合 AB＝BC，四边相等；四个直角原本就成立。

    ∵AB=CDBC=ADAB=BC∴AB=BC=CD=DA\begin{gathered}\because AB=CD\\ BC=AD\\ AB=BC\\\therefore AB=BC=CD=DA\end{gathered}

  2. 按定义确认正方形

    四边相等且四角为直角，符合正方形定义。

    ∴ABCD 是正方形\therefore ABCD\text{ 是正方形}

使用条件：已知菱形，另给一个直角。

菱形与直角：有一个内角为直角的菱形是正方形。

判定：菱形＋一个直角

已知四边相等，另有 ∠ABC＝90°，判定为正方形。

先了解这些知识

有一个直角的菱形为何是正方形

已知菱形 ABCD，另有 ∠B＝90°。

  1. 先确认矩形

    菱形是平行四边形，一个直角的平行四边形是矩形，所以四角都是直角。

    ∵∠B=90∘∴ABCD 是矩形\begin{gathered}\because\angle B=90^\circ\\\therefore ABCD\text{ 是矩形}\end{gathered}

  2. 结合原来的四边相等

    菱形的四边相等，加上四个直角，得到正方形。

    ∵AB=BC=CD=DA∴ABCD 是正方形\begin{gathered}\because AB=BC=CD=DA\\\therefore ABCD\text{ 是正方形}\end{gathered}

使用条件：已知矩形，另给对角线垂直。

矩形与垂直对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形。

判定：矩形＋垂直对角线

已知 ABCD 是矩形，另有 AC⊥BD，判定为正方形。

先了解这些知识

垂直对角线的矩形为何是正方形

已知矩形 ABCD，另有 AC⊥BD。

  1. 再确认菱形

    矩形也是平行四边形，垂直对角线的平行四边形判为菱形。

    ∵AC⊥BD∴ABCD 是菱形\begin{gathered}\because AC\perp BD\\\therefore ABCD\text{ 是菱形}\end{gathered}

  2. 两个身份合起来

    既是矩形又是菱形，即有四个直角和四条相等边，按定义得到正方形。

    ∴ABCD 是正方形\therefore ABCD\text{ 是正方形}

使用条件：已知菱形，另给对角线相等。

菱形与相等对角线：对角线相等的菱形是正方形。

判定：菱形＋相等对角线

已知 ABCD 是菱形，另有 AC＝BD，判定为正方形；不预先标直角。

先了解这些知识

相等对角线的菱形为何是正方形

已知菱形 ABCD，另有 AC＝BD。

  1. 再确认矩形

    菱形也是平行四边形，对角线相等的平行四边形判为矩形。

    ∵AC=BD∴ABCD 是矩形\begin{gathered}\because AC=BD\\\therefore ABCD\text{ 是矩形}\end{gathered}

  2. 保留原来的四边相等

    四个直角加上菱形原有的四边相等，得到正方形。

    ∴ABCD 是正方形\therefore ABCD\text{ 是正方形}

周长与面积

使用条件：正方形边长 s＞0，使用统一的长度单位。

正方形：周长等于边长的四倍，为 4s；面积等于边长的平方，为 s²。

符号表达

L 表示周长，S 表示面积。

L=4sS=s2\begin{aligned}L&=4s\\S&=s^2\end{aligned}

理解时别漏掉：周长的单位是长度单位，面积的单位是平方单位。