四边形与多边形 · 定义、性质、判定与面积

菱形的定义、性质与判定

Rhombi: Definition, Properties and Criteria

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形；等价地，四边相等的四边形是菱形。

性质

使用条件：已知不退化凸四边形是菱形。

不退化：四个顶点不同，并按边界顺序围成有面积的凸四边形，相邻三点不共线。

凸四边形：边不交叉、四个内角都小于 180° 的四边形。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

性质：菱形的四边相等，对角线互相垂直且互相平分，并且各自平分一组对角。

符号表达

菱形 ABCD 的顶点按周向顺序命名，AC、BD 为两条对角线。

AB=BC=CD=DAAC⊥BD\begin{gathered}AB=BC=CD=DA\\AC\perp BD\end{gathered}

四边相等、对角线垂直平分

已知 ABCD 是菱形；AC、BD 交于 O，AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD。

性质以菱形为前提；用邻边相等或对角线垂直判定时，还必须已知平行四边形。

先了解这些知识

菱形的对角线为什么垂直、平分角

ABCD 是菱形，对角线交于 O。由定义先知它是平行四边形且邻边相等，再在等腰三角形中使用三线合一。

  1. 先得到四边和两条中点关系

    两组对边相等加上一组邻边相等，得到四边相等；平行四边形的对角线互相平分。

    ∴AB=BC=CD=DAAO=COBO=DO\begin{gathered}\therefore AB=BC=CD=DA\\AO=CO\\ BO=DO\end{gathered}

  2. 用等腰三角形 ABD

    AB＝AD，O 是 BD 中点；AO 为底边中线，所以也是高和顶角平分线。

    ∵AB=ADBO=DO∴AC⊥BD∠BAO=∠OAD\begin{gathered}\because AB=AD\\ BO=DO\\\therefore AC\perp BD\\\angle BAO=\angle OAD\end{gathered}

  3. 另一端 C 也被平分

    CB＝CD，O 仍是 BD 中点；同样的三线合一说明 CO 平分 C 处角。

    ∵CB=CDBO=DO∴∠BCO=∠OCD\begin{gathered}\because CB=CD\\ BO=DO\\\therefore\angle BCO=\angle OCD\end{gathered}

  4. 交换对角线再看 B、D

    BA＝BC、DA＝DC，O 是 AC 中点；分别在 △BAC、△DAC 中使用三线合一，得到 BD 平分另外一组对角。

    ∵BA=BCDA=DCAO=CO∴∠ABO=∠OBC∠ADO=∠ODC\begin{gathered}\because BA=BC\\ DA=DC\\ AO=CO\\\therefore\angle ABO=\angle OBC\\\angle ADO=\angle ODC\end{gathered}

理解时别漏掉：菱形的对角线通常不相等；“对角线垂直”本身不能判定任意四边形为菱形。

判定

使用条件：已知平行四边形，另有一组邻边相等。

邻边相等的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这也是本页采用的菱形定义。

判定：平行四边形＋邻边相等

已知 AB∥CD、AD∥BC，且 AB＝BC；由此判定为菱形。

使用条件：已知平行四边形，另有两条对角线垂直。

垂直对角线的判定：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。只给普通四边形的对角线垂直，还不能使用这条判定。

判定：平行四边形＋垂直对角线

已知 ABCD 是平行四边形，且 AC⊥BD；不预先标四边相等。

先了解这些知识

垂直对角线的菱形判定

ABCD 已知是平行四边形，另有 AC⊥BD，O 为交点。

  1. 用中点、公共边和直角

    BO＝DO，AO 公共，O 处两角都是直角；SAS 判定 △AOB≌△AOD。

    ∵BO=DOAO=AO∠AOB=∠AOD=90∘∴△AOB=∽△AOD(SAS)\begin{gathered}\because BO=DO\\ AO=AO\\\angle AOB=\angle AOD=90^\circ\\\therefore\triangle AOB\cong\triangle AOD\\(\mathrm{SAS})\end{gathered}

  2. 得到相等邻边

    AB＝AD，平行四边形具有一组相等邻边，符合菱形定义。

    ∴AB=ADABCD 是菱形\begin{gathered}\therefore AB=AD\\ABCD\text{ 是菱形}\end{gathered}

使用条件：凸四边形的四边相等，不预设平行四边形身份。

四边相等的判定：四条边都相等的凸四边形是菱形；这条方法不需要预先给出平行四边形身份。

判定：四边相等

已知 AB＝BC＝CD＝DA，不必另把平行四边形当作已知。

先了解这些知识

四边相等的菱形判定

凸四边形 ABCD 的四边相等；不能先假定它是平行四边形。

  1. 从四边相等到平行四边形

    四边相等当然给出两组对边分别相等；使用已证明的平行四边形判定。

    ∵AB=CDBC=AD∴ABCD 是平行四边形\begin{gathered}\because AB=CD\\ BC=AD\\\therefore ABCD\text{ 是平行四边形}\end{gathered}

  2. 再使用一组邻边相等

    AB＝BC 已知，平行四边形加相等邻边，得到菱形。

    ∵AB=BC∴ABCD 是菱形\begin{gathered}\because AB=BC\\\therefore ABCD\text{ 是菱形}\end{gathered}

面积

使用条件：已知四边形是菱形；d₁、d₂ 是两条对角线的正长度，使用相同单位。

菱形：面积等于两条对角线长度乘积的一半，为 d₁d₂/2。

符号表达

S 表示面积。

S=d1d22S=\frac{d_1d_2}{2}

理解时别漏掉：菱形对角线乘积公式依赖两条对角线垂直，不能用于任意四边形。