四边形与多边形 · 定义、性质、判定与面积

平行四边形的定义、性质与判定

Parallelograms: Definition, Properties and Criteria

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。

性质

平行四边形的性质

使用条件：四边形的两组对边分别平行，即为平行四边形。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

对边：平行四边形的两组对边分别平行且相等。

角：平行四边形的对角相等，邻角互补。

对角线：平行四边形的两条对角线互相平分。

符号表达

平行四边形 ABCD 的顶点按周向顺序命名。

AB=CD,AD=BCAB=CD,\quad AD=BC

对角线互相平分

已知平行四边形 ABCD；AC、BD 交于 O，AO＝OC、BO＝OD。

对角线互相平分不意味着垂直或相等，不能把一般平行四边形画成矩形或菱形。

先了解这些知识

平行四边形的边、角与对角线

ABCD 是平行四边形，只从两组对边平行出发。连接 AC、BD，交于 O；先比较 AC 两侧三角形，再比较 O 两侧三角形。

  1. 先用内错角和公共边

    AB∥CD、BC∥AD 给出两组内错角相等，AC 公共，ASA 判定两三角形全等。

    ∵∠BAC=∠DCA∠BCA=∠DACAC=CA∴△BAC=∽△DCA(ASA)\begin{gathered}\because\angle BAC=\angle DCA\\\angle BCA=\angle DAC\\ AC=CA\\\therefore\triangle BAC\cong\triangle DCA\\(\mathrm{ASA})\end{gathered}

  2. 读出对边和对角

    对应边给出两组对边相等，一对完整对应角相等。另两对小角相加得到另一组对角相等；邻角互补直接来自平行线同旁内角。

    ∴AB=CDBC=AD∠ABC=∠CDA∠BAD=∠BCD∠A+∠B=180∘\begin{gathered}\therefore AB=CD\\ BC=AD\\\angle ABC=\angle CDA\\\angle BAD=\angle BCD\\\angle A+\angle B=180^\circ\end{gathered}

  3. 比较交点两侧三角形

    两条对角线相交，AB＝CD 已在上步得到；由两组内错角用 ASA 判定 △ABO 与 △CDO 全等。

    ∵∠BAO=∠DCO∠ABO=∠CDOAB=CD∴△ABO=∽△CDO(ASA)\begin{gathered}\because\angle BAO=\angle DCO\\\angle ABO=\angle CDO\\ AB=CD\\\therefore\triangle ABO\cong\triangle CDO\\(\mathrm{ASA})\end{gathered}

  4. 得到互相平分

    对应边 AO＝CO、BO＝DO，所以两条对角线各被交点平分。

    ∴AO=COBO=DO\begin{gathered}\therefore AO=CO\\ BO=DO\end{gathered}

理解时别漏掉：一般平行四边形的对角线不一定相等，也不一定垂直。

判定

使用条件：直接满足两组对边平行的定义。

两组对边平行：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

使用条件：凸四边形，两组对边分别相等。

凸四边形：边不交叉、四个内角都小于 180° 的四边形。

两组对边相等：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。

符号表达

AB、CD 是一组对边，AD、BC 是另一组；只给出等长条件，不预设平行。

AB=CDAD=BC\begin{gathered}AB=CD\\AD=BC\end{gathered}

两组对边分别相等

可以判定平行四边形。 证明中新连接的 AC 用虚线表示。

两组邻边分别相等

不能仅凭这个条件判定平行四边形。

对边和邻边不能互换。第二幅图两组邻边分别相等，却不是平行四边形。刻痕数量相同的边长度相等。

先了解这些知识

两组对边相等的判定

凸四边形 ABCD 中 AB＝CD、BC＝AD，尚未假定平行。连接 AC。

  1. 三边相等给出全等

    AC 公共，两组对边给出另两组等边，用 SSS 判定。

    ∵AB=CDBC=ADAC=CA∴△BAC=∽△DCA(SSS)\begin{gathered}\because AB=CD\\ BC=AD\\ AC=CA\\\therefore\triangle BAC\cong\triangle DCA\\(\mathrm{SSS})\end{gathered}

  2. 用等角分别判两组平行

    对应角分别是一组内错角，得到 AB∥CD 和 BC∥AD，符合定义。

    ∴∠BAC=∠DCA∠BCA=∠DACAB∥CDBC∥AD\begin{gathered}\therefore\angle BAC=\angle DCA\\\angle BCA=\angle DAC\\AB\parallel CD\\ BC\parallel AD\end{gathered}

理解时别漏掉：两组对边要分别相等，不能换成两组邻边分别相等。

使用条件：凸四边形，同一组对边平行且相等。

一组对边平行且相等：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

符号表达

四边形 ABCD 的顶点按周向顺序命名；公式列出“一组对边平行且相等”这一项条件。

AB∥CD, AB=CDAB\parallel CD,\ AB=CD

一组对边平行且相等

只标 AB∥CD 且 AB＝CD；虚线 AC 为证明作出的辅助线，另一组平行需要证明。

先了解这些知识

一组对边平行且相等的判定

凸四边形 ABCD 中 AB∥CD 且 AB＝CD。连接 AC，不能把另一组平行先当成已知。

  1. 用给定平行找到夹角

    AB∥CD 给出 ∠BAC＝∠DCA，AB＝CD、AC 公共，SAS 判定全等。

    ∵∠BAC=∠DCAAB=CDAC=CA∴△BAC=∽△DCA(SAS)\begin{gathered}\because\angle BAC=\angle DCA\\AB=CD\\ AC=CA\\\therefore\triangle BAC\cong\triangle DCA\\(\mathrm{SAS})\end{gathered}

  2. 推出另一组平行

    对应角 ∠BCA＝∠DAC 是内错角，给出 BC∥AD；与已知平行一起符合定义。

    ∴∠BCA=∠DACBC∥ADABCD 是平行四边形\begin{gathered}\therefore\angle BCA=\angle DAC\\BC\parallel AD\\ABCD\text{ 是平行四边形}\end{gathered}

理解时别漏掉：平行和相等必须是同一组对边；两组邻边分别相等不能替代两组对边相等。

使用条件：凸四边形，两组对角分别相等。

两组对角相等：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

符号表达

∠A、∠B、∠C、∠D 是四个内角；比较两组对角，不预设对边平行或相等。

∠A=∠C∠B=∠D\begin{gathered}\angle A=\angle C\\\angle B=\angle D\end{gathered}

两组对角相等

α 是 A、C 处已知等角，β 是 B、D 处已知等角；不预先标平行。

先了解这些知识

两组对角相等的判定

凸四边形 ABCD 中 ∠A＝∠C、∠B＝∠D；只用四边形内角和与同旁内角判定。

  1. 从内角和得到邻角互补

    四角之和为 360°，两组对角相等，所以每一对邻角的和为 180°。

    ∵∠A=∠C∠B=∠D2(∠A+∠B)=360∘∴∠A+∠B=180∘∠B+∠C=180∘\begin{gathered}\because\angle A=\angle C\\\angle B=\angle D\\2(\angle A+\angle B)=360^\circ\\\therefore\angle A+\angle B=180^\circ\\\angle B+\angle C=180^\circ\end{gathered}

  2. 分别判定两组对边平行

    A、B 处同旁内角互补判 AD∥BC，B、C 处同旁内角互补判 AB∥CD。

    ∴AD∥BCAB∥CD\begin{gathered}\therefore AD\parallel BC\\AB\parallel CD\end{gathered}

理解时别漏掉：这里比较的是两组对角，不是相邻的两个角。

使用条件：凸四边形的两对角线互相平分。

对角线互相平分：对角线互相平分的四边形是平行四边形。

符号表达

对角线 AC、BD 交于 O；交点把每条对角线分成两段等长线段，不预设对边平行或相等。

AO=COBO=DO\begin{gathered}AO=CO\\BO=DO\end{gathered}

两对角线互相平分

已知 AO＝CO、BO＝DO；这两条对角线本身就是题设对象，不是从图上量出的中点。

先了解这些知识

对角线互相平分的判定

凸四边形 ABCD 的对角线交于 O，AO＝CO、BO＝DO；尚未知道是平行四边形。

  1. 第一组 SAS

    两组半对角线相等，O 处对顶角相等，SAS 给出 △AOB≌△COD。

    ∵AO=COBO=DO∠AOB=∠COD∴△AOB=∽△COD(SAS)∠ABO=∠CDOAB∥CD\begin{gathered}\because AO=CO\\ BO=DO\\\angle AOB=\angle COD\\\therefore\triangle AOB\cong\triangle COD\\(\mathrm{SAS})\\\angle ABO=\angle CDO\\AB\parallel CD\end{gathered}

  2. 第二组 SAS

    换用 △AOD 和 △COB；相同已知条件给出另一组内错角相等，所以 AD∥BC。

    ∴△AOD=∽△COB(SAS)∠ADO=∠CBOAD∥BC\begin{gathered}\therefore\triangle AOD\cong\triangle COB\\(\mathrm{SAS})\\\angle ADO=\angle CBO\\AD\parallel BC\end{gathered}

理解时别漏掉：两条对角线要互相平分，只知道一条对角线被平分还不够。

面积

使用条件：b 是所选底边长，h 是这条底边上的高；h 垂直于底边所在直线，长度单位统一。

平行四边形：面积等于底乘高，为 bh。

符号表达

S 表示面积，b、h 为正长度。

S=bhS=bh

理解时别漏掉：更换底边时，必须同时使用对应的高。