四边形与多边形 · 定义、性质、判定与面积

梯形的定义、性质与判定

Trapezoids: Definitions, Properties and Criteria

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

梯形：只有一组对边平行的四边形叫作梯形，平行的两边叫作底，不平行的两边叫作腰；两腰相等的梯形叫作等腰梯形。

直角梯形：有一条腰垂直于两底的梯形叫作直角梯形。

梯形中位线定义：连接梯形两腰中点的线段，叫作梯形中位线。

性质与中位线

使用条件：先确认梯形只有一组对边平行；下面的等角、等对角线性质以两腰相等为前提。

等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形；同一底上的两个角相等，两条对角线相等。

等腰梯形

AB∥DC，AD＝BC，AC＝BD。

一般梯形

AB∥DC，但 AD≠BC，AC≠BD。

这里已先确认只有一组对边平行。再比较腰、同底角或对角线，才能使用等腰梯形的性质与判定。

理解时别漏掉：判定前须确认只有一组对边平行。本页采用“只有一组对边平行”的梯形定义。

使用条件：梯形 ABCD 中 AB∥DC，E、F 分别为两腰 AD、BC 的中点。

梯形中位线：梯形中位线平行于两底，长度等于两底长度和的一半。

符号表达

a＝AB、b＝DC 是两底长，m＝EF 是中位线长；它们使用相同长度单位。

EF∥AB∥DCm=a+b2EF=AB+DC2\begin{gathered}EF\parallel AB\parallel DC\\m=\frac{a+b}{2}\\EF=\frac{AB+DC}{2}\end{gathered}

两腰中点与中位线 EF

AB∥DC；E、F 分别为 AD、BC 的中点。a＝AB＝6，b＝DC＝3，m＝EF＝4.5；中位线长度是两底长度和的一半。

怎样理解

连接对角线并取其中点，就能把中位线分成两段：一段是底 DC 的一半，另一段是底 AB 的一半。两底平行使这两段连成一条线段，相加得到两底和的一半；这也解释了为什么不要求两腰相等。

先了解这些知识

梯形中位线为什么等于两底和的一半

梯形 ABCD 中 AB∥DC，E、F 分别为 AD、BC 的中点。为了把 EF 联系到两底，连接 AC，取其中点 N，连接 EN、NF。下面先用两次三角形中位线性质，再说明三点为什么共线。

  1. 第一条中位线对应底 DC

    在 △ADC 中，E、N 分别是 AD、AC 的中点。由三角形中位线定理，EN∥DC，EN＝DC/2。

    ∵AE=ED,AN=NC∴EN∥DCEN=DC2\begin{gathered}\because AE=ED,\quad AN=NC\\\therefore EN\parallel DC\\EN=\frac{DC}{2}\end{gathered}

  2. 第二条中位线对应底 AB

    在 △ABC 中，N、F 分别是 AC、BC 的中点。因此 NF∥AB，NF＝AB/2。两条短线段各自对应一条底，不能把它们都当成同一条底的一半。

    ∵AN=NC,BF=FC∴NF∥ABNF=AB2\begin{gathered}\because AN=NC,\quad BF=FC\\\therefore NF\parallel AB\\NF=\frac{AB}{2}\end{gathered}

  3. 共线后把两个半底相加

    AB∥DC，过 N 平行于底的直线只有一条，故 EN、NF 在同一直线上。对角线 AC 把凸梯形分成两个三角形，E、F 分居 AC 两侧，所以 E、N、F 依次共线。于是 EF＝EN＋NF，且 EF∥AB∥DC。

    EF∥AB∥DCEF=EN+NF=DC2+AB2=AB+DC2\begin{gathered}EF\parallel AB\parallel DC\\EF=EN+NF\\=\frac{DC}{2}+\frac{AB}{2}\\=\frac{AB+DC}{2}\end{gathered}

理解时别漏掉：连接的是两腰中点，不是两底中点；只画一条平行于底的线段还不能保证它是中位线。

等腰梯形判定

使用条件：按国内教材约定，梯形有且仅有一组对边平行；这组边叫作两底。

等腰梯形判定：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形也是等腰梯形。

判定一：只给同底两角相等

已知 AB∥DC 且只有一组对边平行，∠DAB＝∠ABC。图中不预标两腰相等；由这一组完整条件可判定等腰梯形。

判定二：只给两条对角线相等

另给一个梯形 AB∥DC，且只有一组对边平行，AC＝BD。图中只写对角线的已知等长关系，不标两腰或底角；两腰相等是待推出的结论。

两幅图是独立的判定：先确认梯形身份，再分别使用等底角或等对角线条件；两腰相等都是结论。

理解时别漏掉：判定前须确认只有一组对边平行。本页采用“只有一组对边平行”的梯形定义。

中位线判定

使用条件：梯形 ABCD 中 AB∥DC，E 在 AD 内且 AE＝ED，F 在 BC 内且 EF∥AB。

中位线判定：一条线段的两个端点分别在梯形两腰内部，若其中一个端点是一腰的中点，且这条线段平行于两底，则另一端点也是另一腰的中点，这条线段是梯形中位线。

符号表达

E 是已知中点，F 是否为中点还待证明；连接 AC 与 EF 交于 N。

AE=ED,EF∥AB则 BF=FC\begin{gathered}AE=ED,\quad EF\parallel AB\\\text{则 }BF=FC\end{gathered}

只给一个腰的中点与平行

AB∥DC，E 在 AD 内且 AE＝ED，F 在 BC 内且 EF∥AB；F 是不是中点还要证明。

连接对角线，把中点传过去

连接 AC，与 EF 交于 N；依次在 △ADC、△ABC 中使用三角形中位线判定，证明 AN＝NC、BF＝FC。未给 N 或 F 预标中点刻痕。

先了解这些知识

梯形中位线判定的证明

梯形 ABCD 中 AB∥DC，E 在 AD 内部且 AE＝ED，F 在 BC 内部，EF∥AB。连接 AC，与 EF 交于 N。

  1. 把一个中点传到对角线上

    △ADC 中，E 是 AD 的中点，EN∥DC。由三角形中位线的“一个中点与平行”判定，N 是 AC 的中点。

    ∵AE=ED,EN∥DC∴AN=NC\begin{gathered}\because AE=ED,\quad EN\parallel DC\\\therefore AN=NC\end{gathered}

  2. 再传到另一腰

    △ABC 中，N 是 AC 的中点，NF∥AB。同一判定给出 BF＝FC；E、F 分别是两腰中点，EF 因而是梯形中位线。

    ∵AN=NC,NF∥AB∴BF=FCEF 是梯形中位线\begin{gathered}\because AN=NC,\quad NF\parallel AB\\\therefore BF=FC\\\text{EF 是梯形中位线}\end{gathered}

理解时别漏掉：端点要分别在两腰内部；仅有平行不够，要同时知道至少一腰的中点。

面积

使用条件：a、b 是两条平行底边的长度，h 是两底所在直线间的垂直距离，长度单位统一。

梯形：面积等于两底之和与高的乘积的一半，为 (a＋b)h/2。

符号表达

S 表示面积，a、b、h 为正长度。

S=(a+b)h2S=\frac{(a+b)h}{2}

理解时别漏掉：h 是两底间的垂直距离，不是腰长。