本页目录定义
示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。
定义
多边形及构成元素
使用条件：平面内由首尾依次相接且不自交的 n 条线段围成的图形，n 为不小于 3 的整数。
多边形：在同一平面内，由三条或更多线段首尾依次相接且不自交所围成的图形，叫作简单多边形；本页讨论的多边形不含相邻边共线的退化情形。
边、顶点与对角线：构成多边形的线段叫作边，相邻边的公共端点叫作顶点，连接不相邻顶点的线段叫作对角线。
符号表达
图例 ABCDE 是五边形，AD 是对角线。
首尾相接且不自交
理解时别漏掉：本页讨论首尾相接、不自交且相邻边不共线的多边形。
多边形的元素与正多边形
使用条件：平面内由首尾依次相接且不自交的 n 条线段围成的图形，n 为不小于 3 的整数。
凸多边形：所有内角都小于 180° 的简单多边形叫作凸多边形；若有内角大于 180°，则为凹多边形。
正多边形：各边相等、各内角也相等的凸多边形叫作正多边形。
凸：所有内角都小于 180°
凹：缺口处的内角为 270°
正方形：既等边又等角
非正方形的菱形：等边但不等角
凸、凹比较的是内角；正多边形还要同时满足等边与等角。凹进去的缺口处，不要把外面较小的角当作内角。
理解时别漏掉：对一般多边形，各边相等与各角相等不能互相替代。三角形是特殊情况：三边相等能推出三个内角相等，反过来也成立，所以等边三角形就是正三角形。
边与角的基本术语
使用条件：内角、邻边适用于一般多边形；外角在此讨论凸多边形；对边、邻角、对角关系在此专指四边形。
凸四边形：边不交叉、四个内角都小于 180° 的四边形。
内角：多边形内部，在每个顶点处由相邻两条边组成的角，叫作多边形的内角；凹多边形的内角可以大于 180°。
外角：在凸多边形的一个顶点处，一条边与相邻边的延长线组成的角，叫作该顶点的外角；它与该顶点的内角互为邻补角。
邻边：多边形中，有一个公共顶点的两条边，叫作邻边。
对边：四边形中，没有公共顶点的两条边，叫作一组对边；四边形有两组对边。
邻角：四边形中，位于同一条边两端的两个内角，叫作一组邻角。
对角：四边形中，位于不相邻顶点处的两个内角，叫作一组对角；四边形有两组对角。
符号表达
图例为凸四边形 ABCD，AB 经过 B 延长到 E；α、β、γ、δ 命名四个内角。
四边形的边、内角与外角
α、β、γ、δ 分别命名四个内角，不表示它们都相等。对边、对角在这里专指四边形的关系。
理解时别漏掉：对角是角，对角线是连接不相邻顶点的线段。两个词不能混用。
对角线条数
使用条件：平面内由首尾依次相接且不自交的 n 条线段围成的图形，n 为不小于 3 的整数。
对角线条数：n 边形从一个顶点可引出 n−3 条对角线，共有 n(n−3)/2 条对角线。
符号表达
理解时别漏掉：从一个顶点出发，不能连接它自己，也不能把两条邻边算作对角线，因此减去 3。每条对角线又从两个端点各数了一次，所以总数要除以 2。
内角与外角和
多边形内角和与外角和
使用条件：简单 n 边形，n≥3；外角和这里指凸多边形每个顶点沿同一绕行方向选一个外角。
内角和：简单 n 边形的内角和为 (n−2)×180°。
外角和：凸多边形每个顶点沿同一绕行方向选取一个外角，这些外角的和为 360°。
正多边形：正 n 边形每个内角为 (n−2)×180°/n。
符号表达
n 表示边数，S角 表示所有内角的和；这里不是面积。
内角和：分成不重叠的三角形
外角和：沿边走一周，方向转一周
分成三角形解释内角和；沿边行进时每个顶点转过的角解释外角和。图例有五条边，但两种思路都不只适用于五边形。
怎样理解
内角和可以通过分成三角形相加来理解；外角和可以把自己想成沿着边行进，每到一个顶点转一次方向，走完一周总共转一周。下面的短推导讨论凸多边形；凹的简单多边形同样可三角剖分，但不能照搬“从一个顶点向所有顶点连线”的作法。
先了解这些知识
凸多边形的内角和与外角和
取凸 n 边形，n≥3。从一个顶点连接所有不相邻顶点；外角按同一个绕行方向，每个顶点恰取一个。这份推导不把凸多边形的作图步骤直接套到凹多边形。
内角和：数 n−2 个三角形
从一个顶点引 n−3 条对角线，分成 n−2 个三角形，不重叠也不遗漏。所有小三角形的角合起来恰好是多边形的内角，因此把 n−2 个 180° 相加。
外角和：每个外角与内角互补
每个外角等于 180° 减去该顶点的内角，所以外角和是 n 个 180° 减去全部内角和。得到 360°，也就是沿同一方向走一周的总转向量。正 n 边形的内角相等，再把内角和除以 n 就得到每个内角。
理解时别漏掉：正多边形的边与角都相等。对一般多边形，等边与等角不能互相替代；三角形中二者可以互相推出。