四边形与多边形 · 定义、性质、判定与度量

矩形的定义、性质与判定

Rectangles: Definition, Properties and Criteria

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：四边形 ABCD 沿边界依次命名，四个内角都小于 180°。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

矩形：四个角都是直角的四边形叫作矩形。

符号表达

四边形 ABCD 的顶点按周向顺序命名，下面四个角都是内角。这与“有一个直角的平行四边形”是等价的定义；两者的联系见下方性质与判定的推导。

∠DAB=∠ABC=90∘∠BCD=∠CDA=90∘\begin{gathered}\angle DAB=\angle ABC=90^\circ\\\angle BCD=\angle CDA=90^\circ\end{gathered}

四个内角都是直角

直角标记分别对应 A、B、C、D 四个顶点。

性质

使用条件：已知四边形 ABCD 是矩形。

对边：矩形的两组对边分别平行且相等。

符号表达

已知矩形 ABCD，AB 与 CD 是一组对边，AD 与 BC 是另一组对边。

AB∥CD,AD∥BCAB=CD,AD=BC\begin{gathered}AB\parallel CD,\quad AD\parallel BC\\AB=CD,\quad AD=BC\end{gathered}

两组对边

同样的刻痕表示等长，分别标出两组对边；平行关系见公式。

使用条件：已知四边形 ABCD 是矩形。

内角：矩形的四个内角都是直角。

符号表达

已知矩形 ABCD，四个角的大小可以直接由定义得到。

∠DAB=∠ABC=90∘∠BCD=∠CDA=90∘\begin{gathered}\angle DAB=\angle ABC=90^\circ\\\angle BCD=\angle CDA=90^\circ\end{gathered}

由定义直接得到的性质

已经知道是矩形，就可以使用四个直角。

使用条件：已知四边形 ABCD 是矩形。

对角线相等：矩形的两条对角线相等。

符号表达

已知矩形 ABCD，连接对角线 AC、BD。

AC=BDAC=BD

比较两条对角线

图中标出对角线 AC 和 BD；相等是矩形的性质，不能只凭图测量判断。

先了解这些知识

矩形的性质从哪里来

ABCD 已知是矩形。先由四个直角确认平行四边形，再单独证明对角线相等；不能把图中等长刻痕当成依据。

  1. 四个直角给出两组平行

    AB、CD 都垂直 BC，所以平行；BC、AD 都垂直 AB，所以平行。平行四边形的对边相等、对角线互相平分因此适用。

    ∵AB⊥BCCD⊥BC∴AB∥CDBC∥ADAB=CDBC=AD\begin{gathered}\because AB\perp BC\\ CD\perp BC\\\therefore AB\parallel CD\\BC\parallel AD\\AB=CD\\ BC=AD\end{gathered}

  2. 比较共用 BC 的两个三角形

    AB＝DC，BC＝CB，两夹角都是直角，SAS 判定 △ABC 与 △DCB 全等。

    ∵AB=DCBC=CB∠ABC=∠DCB=90∘∴△ABC=∽△DCB(SAS)\begin{gathered}\because AB=DC\\ BC=CB\\\angle ABC=\angle DCB=90^\circ\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle DCB\\(\mathrm{SAS})\end{gathered}

  3. 读出两对角线

    对应边 AC＝DB，完成对角线相等的性质；互相平分来自已确认的平行四边形。

    ∴AC=DB\therefore AC=DB

使用条件：已知四边形 ABCD 是矩形。

对角线互相平分：矩形的两条对角线互相平分。

符号表达

已知矩形 ABCD，对角线 AC 与 BD 交于 O；O 是两条对角线各自的中点。

AO=OC,BO=ODAO=OC,\quad BO=OD

交点平分每条对角线

一组刻痕对应 AO 与 OC，另一组对应 BO 与 OD。

判定

使用条件：已知平行四边形 ABCD，再检查一个角。

一个直角的平行四边形：有一个直角的平行四边形是矩形。

符号表达

例如检查顶点 A 处的内角：

∠DAB=90∘\angle DAB=90^\circ

两组对边平行，再有一个直角

只标出判定所需的一个直角，不把其余三个直角预先当作已知。

应用小例

另给条件：ABCD 已知是平行四边形，∠A＝90°。

选择方法：选“平行四边形＋一个直角”的判定。

理由：平行四边形的邻角互补、对角相等，其余三个角也都是 90°。

结论：ABCD 是矩形；若删去平行四边形条件，仅一个直角不够。

先了解这些知识

一个直角的平行四边形为何是矩形

ABCD 是平行四边形，另给 ∠A＝90°；不先把它叫作矩形。

  1. 利用对角相等、邻角互补

    ∠C＝∠A，∠B 与 ∠A 互补，∠D＝∠B，所以四角都为直角。

    ∵∠A=90∘∴∠C=90∘∠B=∠D=180∘−90∘=90∘\begin{gathered}\because\angle A=90^\circ\\\therefore\angle C=90^\circ\\\angle B=\angle D=180^\circ-90^\circ\\=90^\circ\end{gathered}

  2. 按定义确认

    四个内角都是直角，符合矩形定义。

    ∴ABCD 是矩形\therefore ABCD\text{ 是矩形}

使用条件：已知平行四边形 ABCD，再检查两条对角线。

对角线相等的平行四边形：对角线相等的平行四边形是矩形。

符号表达

对角线 AC、BD 满足：

AC=BDAC=BD

先有平行四边形，再比较对角线

两组对边平行是前提；图中标出需要比较的对角线 AC、BD。

应用小例

另给条件：四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于 O，AO＝CO、BO＝DO，且 AC＝BD。

选择方法：没有直接给出平行四边形身份。先由两条对角线互相平分，判定 ABCD 是平行四边形；再检查相等对角线。

理由：AO＝CO 表明 BD 平分 AC，BO＝DO 表明 AC 平分 BD。两条对角线互相平分得到平行四边形，再用 AC＝BD 判定矩形。

结论：ABCD 是矩形。解题先从等长条件识别“互相平分”，再选用两条判定。

先了解这些知识

相等对角线为何还要先有平行四边形

ABCD 已知是平行四边形，且 AC＝BD。由对边相等得到 BC＝AD，再比较两个相邻角。

  1. SSS 得到两个邻角相等

    AB＝BA，BC＝AD，AC＝BD，SSS 给出 △ABC≌△BAD，因此 ∠ABC＝∠BAD。

    ∵AB=BABC=ADAC=BD∴△ABC=∽△BAD(SSS)∠ABC=∠BAD\begin{gathered}\because AB=BA\\ BC=AD\\ AC=BD\\\therefore\triangle ABC\cong\triangle BAD\\(\mathrm{SSS})\\\angle ABC=\angle BAD\end{gathered}

  2. 相等且互补，所以是直角

    平行四边形的邻角互补；两个邻角相等，故各为 90°，再按一个直角的判定确认矩形。

    ∵∠ABC+∠BAD=180∘∴∠ABC=∠BAD=90∘ABCD 是矩形\begin{gathered}\because\angle ABC+\angle BAD=180^\circ\\\therefore\angle ABC=\angle BAD=90^\circ\\ABCD\text{ 是矩形}\end{gathered}

使用条件：已知凸四边形 ABCD，不必先证明它是平行四边形。

凸四边形：边不交叉、四个内角都小于 180° 的四边形。

三个直角的四边形：有三个角是直角的四边形是矩形。

符号表达

例如 A、B、C 三个顶点处的内角满足：

∠DAB=∠ABC=90∘∠BCD=90∘\begin{gathered}\angle DAB=\angle ABC=90^\circ\\\angle BCD=90^\circ\end{gathered}

三个直角就够了

图中只标出 A、B、C 三个已知直角；D 处的直角是由内角和推出的。

怎样理解

四边形内角和是 360°，所以第四个角也是 90°，从而满足矩形的定义。

应用小例

另给条件：四边形 ABCD 的 ∠A、∠B、∠C 都为 90°。

选择方法：选“三个直角”的判定，不必先证明平行。

理由：四个内角和为 360°，所以 ∠D＝360°−3×90°＝90°。

结论：四个角都是直角，ABCD 是矩形。

先了解这些知识

三个直角为何就够了

ABCD 是凸四边形，∠A、∠B、∠C 都为 90°，不预设平行四边形身份。

  1. 用四边形内角和求第四角

    四角之和是 360°，扣除三个直角，第四角也是直角。

    ∵∠A=∠B=∠C=90∘∴∠D=360∘−3×90∘=90∘\begin{gathered}\because\angle A=\angle B=\angle C=90^\circ\\\therefore\angle D=360^\circ-3\times90^\circ\\=90^\circ\end{gathered}

  2. 按四个直角的定义

    四个直角已全部成立，所以是矩形。

    ∴ABCD 是矩形\therefore ABCD\text{ 是矩形}

周长与面积

使用条件：矩形的长 a、宽 b 都是正数，且使用相同的长度单位。

长方形：周长等于长与宽之和的两倍，为 2(a＋b)；面积等于长乘宽，为 ab。

符号表达

L 表示周长，S 表示面积；长方形也叫矩形。

L=2(a+b)S=ab\begin{aligned}L&=2(a+b)\\S&=ab\end{aligned}

理解时别漏掉：周长的单位是长度单位，面积的单位是平方单位。

理解时别漏掉

对角线相等，却不是矩形

这个非矩形的等腰梯形也有 AC＝BD，但 AD 与 BC 不平行。

怎样理解

只有对角线相等还不够。必须先知道是平行四边形，才能使用“对角线相等”的矩形判定。

理解时别漏掉：正方形也属于矩形。矩形不要求邻边长度不同。

比较正方形的周长与面积 →