圆 · 定义、性质与度量

圆的定义、性质与度量

Circles: Definitions, Symmetry and Measurement

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

圆心与半径

使用条件：圆心 O，半径 r＞0。

圆：平面内到一个定点的距离等于一个正的定长的所有点组成的图形，叫作圆；这个定点叫作圆心。

半径：连接圆心与圆上任意一点的线段叫作半径；同圆半径的长度相等。

符号表达

O 为圆心，P 为圆上任意一点，r 为半径长。

OP=rOP=r

圆心与半径

O 是圆心，P 是圆上的一点；线段 OP 是半径。圆上各点到 O 的距离都等于这个半径长。

理解时别漏掉：圆指圆周；圆周连同内部的区域叫作圆面，见下面的定义。

使用条件：圆心 O，半径 r＞0。

弦与直径：连接圆上两个不同点的线段叫作弦；经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的两倍。

符号表达

图中 AB 经过圆心 O，CD 不经过 O；d、r 分别为直径长、半径长。

d=2rd=2r

圆心、半径、直径与弦

OP 是半径，AB 是经过 O 的直径，CD 是不经过 O 的弦；∠BOP 是圆心角。

半径、直径、弦的端点位置不同；直径必须经过圆心，圆心角的顶点必须在圆心。

理解时别漏掉：直径是一种特殊的弦，必须经过圆心。

弧与圆心角

使用条件：圆心 O，半径 r＞0。

弧：圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。

圆心角：顶点在圆心的角叫作圆心角。

弧与圆心角

A、B 把圆分成两条弧。这里标出较短的弧 AB；∠AOB 的顶点是圆心 O，两边是半径 OA、OB 所在的射线。

理解时别漏掉：同一对端点有两条弧，引用时要说明所指的是哪一条。

等圆与等弧

使用条件：讨论同圆或两个圆，分别比较半径与所选的弧。

等圆：半径相等的圆叫作等圆；等圆可以通过平移或旋转完全重合。

等弧：能够完全重合的圆弧叫作等弧。同圆或等圆中，所对圆心角相等的弧是等弧。

等圆中的等弧

两圆半径都为 1，是等圆。图中两个 60° 圆心角所对的短弧能够完全重合，因此是等弧。

理解时别漏掉：不同半径的圆中，圆心角相等不保证弧长相等。

使用条件：半径大于零；分清边界与内部区域。

圆面：圆周连同它所围住的内部组成圆面。本文“圆”通常指圆周，“圆面积”指圆面的面积，两者的边界和区域不能混为一谈。

圆周是边界，圆面包括内部

圆周是半径固定的点组成的曲线；淡区域连同边界是圆面，圆面积量的是这个区域。

使用条件：用直径把圆面分为两半。

半圆面：一条直径把圆面分成两个全等区域，每个由半圆弧和这条直径围成，叫作半圆面。半圆弧只是曲线；半圆面的周长还要加上直径，面积是圆面积的一半。

符号表达

L=πr+2rS=12πr2\begin{gathered}L=\pi r+2r\\S=\frac12\pi r^2\end{gathered}

半圆面的周长要包括直径

半圆弧只是曲线；半圆面由这条弧和直径围成。它的周长为 πr＋2r，而面积为 πr²/2。

使用条件：先说明是哪一条弧；同一对端点通常有两条弧。

弧的度数：弧的度数用它所对应的圆心角的度数表示，不是弧长；同圆中度数越大的弧越长。优弧对应大于 180° 的圆心角，不能改用两端半径之间的小角。

理解时别漏掉：本页用度数，不引入弧度单位。圆周角定理的 θ 必须与不含顶点的那条弧对应。

使用条件：半径大于零的任意圆。

圆周率：任意圆的周长与直径的比都是同一个常数，这个常数叫作圆周率，用 π 表示；3.14 只是它的近似值。

符号表达

C 表示圆周长，d 表示直径，两者使用同一长度单位。图例的 C₁、d₁属于第一圆，C₂、d₂属于第二圆。

π=Cd\pi=\frac{C}{d}

不同大小的圆，同一个比值

第一圆的半径为 1，第二圆为 1.4；虽然周长、直径不同，但各自的周长与直径之比都是 π。

理解时别漏掉：π＝3.14 不是精确等式；保留 π 或按题目要求取近似值。

使用条件：两圆同心，外半径 R、内半径 r 满足 R＞r＞0。

圆环：两个半径不同的同心圆之间的平面区域，叫作圆环；它不包括内圆内部的区域。

符号表达

O 是共同圆心，R、r 分别是外圆和内圆的半径。

圆环：两同心圆之间的区域

O 是两个圆共同的圆心，外半径 R 大于内半径 r；圆环不包括内圆的内部。

理解时别漏掉：圆环是一个平面区域，不是圆周，也不是两个不相交圆之间的任意空隙。

三点确定圆

使用条件：三个不同的点不共线。

三点确定圆：三个不共线的点确定一个圆，圆心是连接这些点所得三角形的外心。

符号表达

A、B、C 为三个不共线的点，O 为经过这三点的圆的圆心。

OA=OB=OCOA=OB=OC

不共线的三点确定圆

A、B、C 是三个不同且不共线的点，通过它们的圆唯一。

共线的三点不能确定圆

A、B、C 依次共线且互不重合，不存在经过这三个点的圆。

三个点不同还不够，必须不在同一条直线上，才能确定唯一的圆。

理解时别漏掉：三个共线的不同点不能同在一个有限半径的圆上。

对称性质

圆的对称性

使用条件：半径大于零的圆。

轴对称：圆是轴对称图形，每一条经过圆心的直线都是它的对称轴。

中心对称与旋转：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；绕圆心旋转任意角度后，圆都与原来的圆重合。

符号表达

对称轴经过圆心；对称中心为圆心\text{对称轴经过圆心；对称中心为圆心}

对称轴与对称中心

两条过 O 的整直线都是对称轴；A 与 A′关于 O 中心对称，B 与 B′也如此。

经过圆心的直线都是圆的对称轴，圆心是对称中心；直径线段与整条对称轴要区分。

理解时别漏掉：对称轴是整条直线，不是有限长的直径线段。

周长、面积与弧长

圆的周长与面积

使用条件：圆半径为 r，直径为 d＝2r。

圆周长：等于直径乘 π，为 2πr＝πd。

圆面积：等于半径的平方乘 π，为 πr²。

同心圆环面积：等于外圆面积减去内圆面积，为 π(R²−r²)，其中 R 为外圆半径、r 为内圆半径。

符号表达

C=2πr,S=πr2C=2\pi r,\quad S=\pi r^2

同心圆环的两个半径

外圆半径 R＝OA、内圆半径 r＝OB，圆环面积为 π(R²−r²)。

同心圆环是外圆区域减去内圆区域，不是把两个圆周长相减当面积。

理解时别漏掉：π 是常数；题目要求精确值时保留 π，不先替换成 3.14。

弧长与扇形面积

使用条件：半径 r，圆心角 n°，0＜n≤360。

弧长：等于圆周长的 n/360，为 nπr/180。

扇形面积：等于圆面积的 n/360，为 nπr²/360，也等于弧长乘半径的一半。

符号表达

l 表示所选弧的长度，S 表示该扇形的面积；r 是圆的半径，n 是圆心角的度数。

l=nπr180,S=nπr2360=12lrl=\frac{n\pi r}{180},\quad S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac12 lr

90° 扇形占圆的四分之一

示例 n＝90°；弧长为圆周长的四分之一，扇形面积为圆面积的四分之一。

弧长是长度，扇形面积是面积；两者都按圆心角占一周的比例计算。

怎样理解

整圆是一周，圆心角为 360°。在同一个圆中，n° 对应的弧和扇形分别占圆周长、圆面积的 n/360。先乘这个比例得到两个公式，再用弧长公式解释为什么面积也能写成弧长乘半径的一半。

先了解这些知识

扇形面积为什么也等于弧长乘半径的一半

半径 r＞0，圆心角为 n°，0＜n≤360。l 为弧长，S 为扇形面积；图例取 90°，下面的计算保留一般的 n。

  1. 按占一周的比例计算

    整圆周长为 2πr，面积为 πr²。把它们分别乘 n/360，得到所选弧长和扇形面积；90° 时这个比例恰为 1/4。

    l=n360⋅2πr=nπr180S=n360⋅πr2=nπr2360\begin{gathered}l=\frac{n}{360}\cdot2\pi r\\=\frac{n\pi r}{180}\\S=\frac{n}{360}\cdot\pi r^2\\=\frac{n\pi r^2}{360}\end{gathered}

  2. 把弧长式乘半径的一半

    把 l＝nπr/180 代入 lr/2，得到 nπr²/360，正好与上一面积式相同。因此 S＝lr/2。这是两个公式的整理，不需要把弧当成三角形的直边。

    ∵l=nπr180∴12lr=12⋅nπr180⋅r=nπr2360=S∴S=12lr\begin{gathered}\because l=\frac{n\pi r}{180}\\\therefore\frac12lr\\=\frac12\cdot\frac{n\pi r}{180}\cdot r\\=\frac{n\pi r^2}{360}=S\\\therefore S=\frac12lr\end{gathered}

理解时别漏掉：这里 n 的单位是度；不要把度数直接放进以弧度为前提的公式。