圆 · 等弧、等弦与等圆心角、垂径定理及推论、弦心距的定义与弦长关系

圆中的弦与弧

Chords and Arcs of a Circle

本页目录等弧、等弦与等圆心角

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

等弧、等弦与等圆心角

使用条件：同圆或等圆中，比较相应的劣弧与它们的弦、圆心角。

等弧、等弦与等圆心角：等圆心角对应等弧与等弦；等弧、等弦或等圆心角中任一项成立，另外两项也成立。

符号表达

若 ∠AOB=∠COD则 AB=CD\begin{gathered}\text{若 }\angle AOB=\angle COD\\\text{则 }AB=CD\end{gathered}

等弦、等弧与等圆心角

同一个圆中 AB＝CD，所对劣弧相等，∠AOB＝∠COD＝60°。

只有同圆或等圆中的等弧、等弦、等圆心角才可互相推出；不同半径的圆不能只比较角度。

理解时别漏掉：不同半径的圆中，同样大的圆心角不一定对应相等的弦。

垂径定理及推论

使用条件：已知圆 O 的直径 PQ 垂直于弦 AB。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

符号表达

M 是直径 PQ 与弦 AB 的交点。这里从已知的垂直关系出发，推出弦和两条弧都被平分。

若 PQ⊥AB则 AM=MB\begin{gathered}\text{若 }PQ\perp AB\\\text{则 }AM=MB\end{gathered}

垂直平分弦与两条弧

PQ 经过 O 且垂直于弦 AB，交 AB 于 M；AM＝MB，P、Q 分别是两条弧的中点。

这幅图使用非直径弦。经过圆心且垂直于弦的直线，同时平分弦和弦所对的两条弧。

理解时别漏掉：本图画的是非直径弦，但正向定理也适用于弦 AB 本身是直径的情况；此时 M 与 O 重合，两条相互垂直的直径把圆分成四条相等的弧。

使用条件：PQ 是直径，M 是 PQ 与非直径弦 AB 的交点，已知 AM＝MB。

逆向结论：平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

符号表达

这里从平分非直径弦出发；PQ⊥AB 是要推出的结论，不是已知条件。

若 AM=MB则 PQ⊥AB\begin{gathered}\text{若 }AM=MB\\\text{则 }PQ\perp AB\end{gathered}

逆向：已知平分非直径弦

PQ 是直径，AM＝MB，AB 不是直径；从这些条件推出 PQ⊥AB，不预先标直角。

理解时别漏掉：这条逆向判定必须排除弦本身是直径的情况：任意两条直径都在圆心互相平分，却不一定垂直。

使用条件：PQ 是直径，端点 P 平分弦 AB 所对的一条弧；M 为 PQ 与 AB 的交点。

平分弧的直径：一条直径平分某条弦所对的一条弧，则这条直径垂直于弦，平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。

符号表达

本图给出 P 平分优弧的例子，也可以从平分劣弧出发。

若 P 平分所选弧 AB则 PQ⊥AB, AM=MB\begin{gathered}\text{若 P 平分所选弧 AB}\\\text{则 }PQ\perp AB,\ AM=MB\end{gathered}

从平分弧出发

已知直径 PQ 的端点 P 平分 AB 所对的优弧，两段弧所对圆心角都为 120°；M 是交点，垂直和中点关系都是要推出的结论。

先了解这些知识

平分弧的直径为何平分弦

圆 O 中，直径 PQ 的端点 P 平分弦 AB 所对的一条弧。令 M 为 PQ 与 AB 的交点；不先假定垂直或 M 是中点。

  1. 等弧转换为等弦

    弧 AP、PB 相等，同圆中等弧所对的弦相等，所以 PA＝PB。

    PA=PBPA=PB

  2. 用两个等距点确定中垂线

    OA＝OB 是半径相等。O、P 是两个不同的点，且都到 A、B 等距，所以都在 AB 的中垂线上；OP 与 PQ 是同一直线。

    OA=OB,PA=PBO,P 都在 AB 的中垂线上∴PQ⊥AB,AM=MB\begin{gathered}OA=OB,\quad PA=PB\\O,P\text{ 都在 AB 的中垂线上}\\\therefore PQ\perp AB,\quad AM=MB\end{gathered}

  3. 确定另一条弧的中点

    已证明直径 PQ 垂直于 AB。再使用本节前面给出的垂径定理，Q 平分弦 AB 所对的另一条弧。这里推导的是新增推论，不是重新证明垂径定理。

    Q 平分另一条弧 AB\text{Q 平分另一条弧 AB}

理解时别漏掉：这里从平分弧出发；它不需要排除弦是直径。只有“平分弦推出垂直”那条逆向判定要排除直径弦。

弦心距的定义与弦长关系

使用条件：在一个圆内，距离量到弦所在直线。

弦心距：圆心到一条弦所在直线的距离，叫作弦心距；要取垂直距离，不是圆心到弦端点的距离。直径的弦心距为 0。

理解时别漏掉：直径的弦心距为零，此时不构造退化直角三角形。

弦心距与弦长

使用条件：在同一个圆或两个等圆中讨论弦及圆心到弦所在直线的垂直距离。

等弦与等距：同圆或等圆中，两条弦相等，则弦心距相等；弦心距相等，则两条弦相等。

大小关系：同圆或等圆中，弦越长，弦心距越小；直径是最长的弦，其弦心距为零。

长度关系：圆心到非直径弦的垂线平分弦；半弦长、弦心距与半径组成直角三角形，满足勾股关系。弦为直径时，弦心距为零，弦长为两倍半径，同一长度公式仍成立。

符号表达

半径为 r，弦 AB 的中点为 H，d＝OH。AB 不是直径时，OH 垂直于 AB；AB 是直径时，H 与 O 重合且 d＝0。

(AB2)2+d2=r2AB=2r2−d2\begin{gathered}\left(\frac{AB}{2}\right)^2+d^2=r^2\\AB=2\sqrt{r^2-d^2}\end{gathered}

同圆：长弦更靠近圆心

OH＜OK，所以 AB＞CD。

同圆：等距对应等弦

OH＝OK，所以 AB＝CD。

比较弦心距要先确认半径相同，距离沿垂线测量；长弦离圆心更近。

理解时别漏掉：不同半径的圆不能直接比较弦长与弦心距；弦心距不是圆心到某个弦端点的距离。