圆 · 定义与性质

正多边形与圆

Regular Polygons and Their Circles

本页目录中心、外接圆与内切圆

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

中心、外接圆与内切圆

使用条件：正 n 边形，n 为不小于 3 的整数。

中心与两圆：正多边形有经过全部顶点的外接圆，也有与全部边相切的内切圆；两圆圆心相同，称为正多边形的中心。

同一个中心，两种半径

正方形 ABCD 的外接圆、内切圆都以 O 为圆心。OA＝R，OT＝r，T 是 AB 的中点，OT⊥AB；本图边长为 4，r＝2，R＝2√2。

外接圆经过各顶点，内切圆与各边相切；两圆共用中心 O，但半径 R、r 不相等。图例是正方形，不把它的边数当作一般条件。

半径、边心距与半边长

使用条件：正多边形中心为 O，T 为边 AB 的中点。

半径与边心距：中心到顶点的距离是正多边形的半径；中心到一条边的垂直距离叫作边心距，也是内切圆半径。垂足为该边中点。

符号表达

a＝AB 为边长，R＝OA 为半径，r＝OT 为边心距。

R2=r2+(a2)2R^2=r^2+\left(\frac a2\right)^2

从圆心到一条边，得到直角三角形

O 为正多边形中心，边 AB 的长度为 a，T 为其中点。OT＝r、OA＝R、TA＝a/2，∠OTA＝90°；参考的直角三角形是 △OTA。

半径 R 是斜边，边心距 r 和半边长 a/2 是两条直角边；先确认垂足和中点，再用勾股定理。

怎样理解

OT 垂直于 AB，T 又是中点，因此 △OTA 的两条直角边长为 r、a/2，斜边长为 R。三条长度的平方关系来自勾股定理，不是由图中看起来的长短得到。

先了解这些知识

中心角与圆周等分

使用条件：正 n 边形，n≥3；A、B 是相邻顶点。

中心角与等分：相邻两个顶点与中心组成的中心角为 360°/n。把圆周 n 等分并依次连接分点，可得到圆内接正 n 边形。

符号表达

O 为中心，∠AOB 是一条边对应的中心角。

∠AOB=360∘n\angle AOB=\frac{360^\circ}{n}

圆内接正方形

相邻中心角为 90°，边长为 √2R。

正六边形与中心三角形

OA＝OB＝AB＝2。T 是 AB 中点，OT 为边心距，∠AOB＝60°。

正方形用两条互相垂直的直径四等分圆；正六边形用半径截取六条等弦。六边形边长等于半径不是所有正多边形的通则。

理解时别漏掉：“圆周等分得到正多边形”不意味着任意 n 都能只用尺规精确等分。

面积

使用条件：正 n 边形的边长为 a，边心距为 r。

面积：正多边形的面积等于周长与边心距乘积的一半。

符号表达

L 表示周长，S 表示面积，L＝na。

S=12LrS=\frac12 Lr

把多边形分成同高的三角形

正方形图例中，连接 O 与 A、B、C、D，分成四个不重叠的三角形。每个三角形的底是边长 a，高是边心距 r；本图 a＝4、r＝2，四块总面积为 16。

连接中心与所有顶点，各块三角形的底都为 a、高都为 r；图例有四块，一般正 n 边形有 n 块。

怎样理解

每个中心三角形的高都是边心距 r。把各块面积相加，再把边长的总和替换成周长，就得到面积公式。

先了解这些知识

正多边形面积怎样由三角形相加得到

正 n 边形的边长为 a，边心距为 r，周长为 L。连接中心 O 与所有顶点，分成 n 个三角形。图例用正方形，即 n＝4；下面的计算适用于任意正 n 边形。

  1. 先算一个同高三角形

    每个三角形以多边形的一条边为底，底边长都是 a。从中心到这条边的垂直距离都是边心距 r，所以每块面积都为 ar 的一半。

    S△OAB=12arS_{\triangle OAB}=\frac12 ar

  2. 相加后用周长替换

    n 个三角形内部不重叠、也没有遗漏。总面积是 n×ar/2，而周长 L＝na，因此总面积等于周长与边心距乘积的一半。

    ∵L=na∴S=n⋅12ar=12Lr\begin{gathered}\because L=na\\\therefore S=n\cdot\frac12 ar\\=\frac12 Lr\end{gathered}