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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。
推论
常用推论
使用条件：半径为 r 的圆，圆心为 O，P 为固定点，X 在圆周上运动；d＝OP。
取等：指不等式中的等号成立。讨论最值时，还要检查能使等号成立的位置是否符合题目条件。
最小值与最大值：PX 的最小值为 |d−r|，最大值为 d＋r；两者都能在圆周上取到。
取值位置：P 不等于 O 时，在直线 OP 与圆的两个交点中，离 P 较近的一点取得最小值，较远的一点取得最大值；P 等于 O 时，所有位置的距离都等于 r。
符号表达
圆外：比较任意位置与两个交点
圆内：近交点的距离改为 r−d
圆心重合：每个位置都是半径
圆上：最短位置与 P 重合
X 是用于比较的圆上动点；P≠O 时，M、N 是固定的近、远交点。先比较任意位置，再说明把 X 移到哪里能取到等号；P 与 O 重合时，每个位置都取到相同距离。
怎样理解
先比较圆上任意位置 X：因为 OX 总等于 r，可以用 O、P、X 三点的距离和、距离差来限制 PX。P≠O 时，再把 X 放到直线 OP 与圆的交点，核对这些长度真的能取到。圆内用 r−d，圆外用 d−r，合写时才成为 |d−r|；P 与 O 重合时单独核对。
先了解这些知识
为什么不能更近或更远，等号在哪里取到
圆心 O、半径 r＞0，P 为定点，d＝OP，X 是圆上任意动点。先得到对所有 X 都成立的比较，再分 P 的位置验证等号。M、N 用来命名近、远交点，不把示例图上 X 的位置当作已知条件。
先比较所有允许位置
X 是任意圆上点，不预先放到取等位置。
先找不会超过的长度
经过 O 的折线路程不短于直达距离，所以 PX≤PO＋OX＝d＋r。三点共线或有点重合时，这个“不超过”的关系仍成立，不只用于三角形。
再找不会低于的长度
同样有 PO≤PX＋XO、OX≤OP＋PX。移项后 PX≥d−r 且 PX≥r−d，所以 PX≥|d−r|；d 与 r 谁更大，就取哪一种非负的差。
圆外
d＞r，近、远交点分别验证两个最值。
圆外：验证能取到
d＞r 时，O、M、P 依次共线，PM＝d−r；N 在 O 的另一侧，PN＝d＋r。把 X 分别移到 M、N，就得到最小值和最大值。
圆上
d＝r，最短位置 X 与 P 重合；最长位置是另一侧直径端点。
圆上：重合时距离为零
d＝r 时，P 本身在圆上。令 X 与 P 重合，距离 PX 为 0；令 X 在与 P 相对的直径端点 N，距离为 PN＝2r。图中 P 与近交点 M 是同一个位置，不再画 PM。
圆内且不在圆心
0＜d＜r，近交点距离要用 r−d。
圆内：近交点的减法顺序改变
0＜d＜r 时，O、P、M 依次共线，PM＝OM−OP＝r−d；另一侧仍有 PN＝PO＋ON＝d＋r。两处都是圆上的允许位置，因此比较出的两个长度确实是最小值、最大值。
与圆心重合
d＝0；不再使用由两个不同点确定的直线 OP。
圆心重合：单独核对
d＝0 时，P 就是 O。每个圆上点到 P 的距离都是半径 r，不需要再确定直线 OP。最小值、最大值都等于 r，与两个公式一致。
理解时别漏掉：本条测量的是到圆周的距离，不是到圆内区域的距离；是三角形不等式与共线取等的常用应用，不是通过拖图读数得出的证明。