圆 · 定义、性质、判定与拓展

圆内接四边形的定义、性质、判定与拓展

Cyclic Quadrilaterals: Definition, Properties, Criteria and Extensions

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：平面内不自交的四边形，顶点按周向顺序命名。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

定义：四个顶点按圆周顺序位于同一圆上的四边形，叫作圆内接四边形；这个圆叫作它的外接圆。

性质

使用条件：已知凸四边形 ABCD 的四个顶点按周向顺序在同一个圆上。

凸四边形：边不交叉、四个内角都小于 180° 的四边形。

性质：圆内接四边形的两组对角分别互补，一个外角等于它的内对角。

符号表达

四边形 ABCD 的顶点按周向顺序命名，∠A、∠C 为一组对角。

∠A+∠C=180∘\angle A+\angle C=180^\circ

性质：圆内接四边形对角互补

已知 A、B、C、D 按周向顺序在同圆上；α＝∠DAB、β＝∠BCD，α＋β＝180°，不表示两角相等。

性质图给出同圆；判定图不画待证的圆，只标已知对角互补或外角等于内对角。

理解时别漏掉：四点共圆判定须注意顶点顺序；不能把邻角相加来替代对角。

四点共圆的判定

使用条件：ABCD 是不退化凸四边形，已知一组对角互补；尚未假定四点共圆。

不退化：四个顶点不同，并按边界顺序围成有面积的凸四边形，相邻三点不共线。

判定：一组对角互补的凸四边形，四个顶点在同一个圆上。

符号表达

四边形 ABCD 的顶点按周向顺序命名，∠A、∠C 为一组对角。

若 ∠DAB+∠BCD=180∘则 A,B,C,D 四点共圆\begin{gathered}\text{若 }\angle DAB+\angle BCD=180^\circ\\\text{则 }A,B,C,D\text{ 四点共圆}\end{gathered}

判定一：对角互补

α＝∠DAB、β＝∠BCD；已知凸四边形的 α＋β＝180°，可证明四点共圆，圆不是已知。

理解时别漏掉：四点共圆判定须注意顶点顺序；不能把邻角相加来替代对角。

使用条件：ABCD 是不退化凸四边形，已知一个外角等于它的内对角。

外角判定：凸四边形的一个外角等于它的内对角时，四个顶点在同一个圆上。

符号表达

把 AD 经过 D 延长到 E，则 ∠CDE 为 D 处外角，∠ABC 为它的内对角。

若 ∠CDE=∠ABC则 A,B,C,D 四点共圆\begin{gathered}\text{若 }\angle CDE=\angle ABC\\\text{则 }A,B,C,D\text{ 四点共圆}\end{gathered}

判定二：外角等于内对角

把 AD 经 D 延长到 E，已知 ∠CDE＝∠ABC，可证明四点共圆；图中不预先画圆。

理解时别漏掉：四点共圆判定须注意顶点顺序；不能把邻角相加来替代对角。

使用条件：A、B、P、Q 是四个互不重合的平面点，P、Q 在直线 AB 的同侧，已知 ∠APB＝∠AQB；未假定四点共圆。

同侧等角判定：A、B、P、Q 是同一平面内四个互不重合的点，P、Q 在直线 AB 的同一侧。若 ∠APB＝∠AQB，则 A、B、P、Q 四点共圆。

符号表达

两个角都比较同一对端点 A、B，不是任意两个角相等。

∠APB=∠AQB且 P、Q 在 AB 同侧则 A、B、P、Q 四点共圆\begin{gathered}\angle APB=\angle AQB\\\text{且 P、Q 在 AB 同侧}\\\text{则 A、B、P、Q 四点共圆}\end{gathered}

同侧等角：不预先画圆

P、Q 在直线 AB 同侧，四点互不重合；已知 ∠APB＝∠AQB，由此判定四点共圆。

删去同侧条件，就不够了

P、Q 分居直线 AB 两侧，△ABP、△ABQ 均为等边三角形，所以两角同为 60°。图中的圆只经过 A、B、P，Q 在圆外；用对角和也能证明四点不共圆。

怎样理解

反例中，△ABP 与 △ABQ 是等边三角形，两角各为 60°。若四点共圆，凸四边形 PAQB 的这两个对角应互补；但 60°＋60°＝120°，所以不共圆。这是用性质验证的反例，不是凭图测量。

理解时别漏掉：同侧条件不能删掉；异侧的等角通常不能这样判定。这里先比较普通线段 AB，不能先把它称作某个已知圆的弦。

托勒密定理 · 扩展

扩展

托勒密定理

使用条件：凸四边形 ABCD 的四个顶点按圆周顺序在同一圆上。

结论：圆内接四边形的两条对角线长度之积，等于两组对边长度乘积之和。

矩形特例：矩形的对边相等、对角线相等，此公式化为勾股关系。

符号表达

AC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DAAC\cdot BD=AB\cdot CD+BC\cdot DA

圆内接四边形

A、B、C、D 按圆周顺序排列，对角线为 AC、BD。证明中取 K 在 AC 内，使 ∠ABK＝∠DBC；辅助线 BK 用虚线表示。

对角线乘积公式要求四点共圆且按周向顺序排列；不是任意四边形的长度关系。

怎样理解

四点共圆且题目涉及对角线和边长乘积时，这个定理可把四边形的长度关系直接连接起来。

先了解这些知识

托勒密定理的相似证明

A、B、C、D 按圆周顺序排列。目标式右边有两个乘积，尝试把 AC 分成 AK、KC，使它们各与 BD 的乘积对应右边的一项，最后相加。希望先找到 △ABK 与 △DBC 相似：同弦 BC 已给出 A、D 处的等角，还缺 B 处的一组等角。因此在 ∠ABC 内作射线 BK，使 ∠ABK＝∠DBC，交 AC 于 K。因为 BD 在 ∠ABC 内部，0°＜∠DBC＜∠ABC，这条射线必与 AC 内部相交。

  1. 第一组相似

    ∠BAK＝∠BDC（同弦 BC），再加上作出的等角，得到 △ABK∽△DBC。

    △ABK∽△DBCAK⋅BD=AB⋅DC\begin{gathered}\triangle ABK\sim\triangle DBC\\AK\cdot BD=AB\cdot DC\end{gathered}

  2. 第二组相似

    从 ∠ABC 中减去相等的 ∠ABK、∠DBC，得到 ∠KBC＝∠ABD；另有 ∠BCK＝∠BDA（同弦 AB）。

    △KBC∽△ABDKC⋅BD=BC⋅AD\begin{gathered}\triangle KBC\sim\triangle ABD\\KC\cdot BD=BC\cdot AD\end{gathered}

  3. 两式相加

    K 在 AC 内部，所以 AK＋KC＝AC。相加即得对角线乘积关系。

    (AK+KC)BD=AB⋅DC+BC⋅ADAC⋅BD=AB⋅CD+BC⋅DA\begin{gathered}(AK+KC)BD\\=AB\cdot DC+BC\cdot AD\\AC\cdot BD\\=AB\cdot CD+BC\cdot DA\end{gathered}

理解时别漏掉：本页是圆内接条件下的等式，不是任意四边形的公式。顶点必须按周向顺序排列。