相交弦、割线与切割线关系

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理

进阶

使用条件：同一个圆内的两条弦相交，或从同一个圆外点引两条割线，或引一条切线和一条割线。

相交弦：两弦在圆内相交时，每条弦被交点分成的两段的乘积相等。

两割线：从圆外一点引两条割线时，每条割线的外段长与全段长的乘积相等。

切割线：从圆外一点引切线和割线时，切线段长的平方等于割线的外段长与全段长的乘积。

圆内：弦 AB、CD 交于 P。圆外：P、A、B 及 P、C、D 分别按顺序共线，A、C 为较近交点；PT 为切线段，T 为切点。

\begin{gathered}\text{相交弦或两割线：}\\PA\cdot PB=PC\cdot PD\\\text{切割线：}\\PT^2=PA\cdot PB\end{gathered}

弦 AB、CD 在圆内交于 P；PA·PB＝PC·PD。定理不要求交点是圆心或中点；本图 P 恰是 CD 的中点。

P、A、B 及 P、C、D 分别依次共线；PA、PC 是外段，PB、PD 是全段。

PT 是切线段，P、A、B 依次共线；PT²＝PA·PB，不能把 PB 误认成 AB。

先确认 P 在圆内还是圆外，再辨认外段、全段和切线段。线段的乘积不是两段长度的和。

乘积相等不是测量得到的巧合。圆周角关系能提供等角，等角使三角形相似，相似的对应边比例再整理成乘积。下面连接 AC、BD，完整推导圆内两弦相交的情况；圆外两割线、切割线是另外两种使用条件，不把这份圆内证明当作三种情况的完整证明。

相交弦乘积关系的证明（圆内情形）

同一圆内，弦 AB、CD 相交于 P，A、P、B 及 C、P、D 分别依次共线。为了把四段长度放进两个三角形，连接 AC、BD。交点不必是圆心或任何弦的中点。

用对顶角与圆周角找到等角
∠APC 与 ∠DPB 是对顶角。又因 AP 与 AB 同向、DP 与 DC 同向，∠PAC 和 ∠PDB 分别是圆周角 ∠BAC 和 ∠CDB；它们所对的是同一条弧 BC，因此相等。
$\begin{gathered}\because\angle APC=\angle DPB\\\angle PAC=\angle PDB\end{gathered}$
按对应顶点写出相似与比例
两组对应角相等，按 AA 得到 △PAC∽△PDB。P、A、C 分别对应 P、D、B，所以 PA 对应 PD，PC 对应 PB；按同一顺序列比例。
$\begin{gathered}\therefore\triangle PAC\sim\triangle PDB\ (\mathrm{AA})\\\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\end{gathered}$
把对应边比例整理成乘积
P 在圆内，四段长度都为正。把等式两边同时乘 PD·PB，得到 PA·PB＝PC·PD。等式两边各是同一条弦被 P 分成的两段相乘。
$\begin{gathered}\because\frac{PA}{PD}=\frac{PC}{PB}\\\therefore PA\cdot PB=PC\cdot PD\end{gathered}$

理解时别漏掉：圆外割线乘的是“外段×全段”，不是两个圆内部分；这些关系可用相似三角形证明。