点、线与角 · 作图

尺规作图

Compass and Straightedge Constructions

本页目录基本作法与工具

尺规作图 · 动画示范

已知线段 AB。只用无刻度直尺和圆规，作出 AB 的垂直平分线。

先想办法：要找中点和垂直关系，可以先找两个到 A、B 等距的点；它们确定的直线就是要找的中垂线。

初始图形 · 已知线段

准备开始

“下一步”只播放一步；点步骤可直接回看。圆规的空心端是针尖，实心端是笔尖。取长度不读刻度：两端对准后，保持张口再画弧。

虚线是作图弧与辅助线，旧作图线弧变淡；实线是已知图形和最终作图。用于下一步的交点用小实心点标出，需要引用时再加名称；偶然交叉处不额外标点。等长、直角和等角标记在最后说明正确时出现。

已知线段

怎么作

先看线段 AB；要找的是经过其中点、并且垂直于 AB 的直线。

为什么

无刻度直尺只能连线，不能靠量长度找中点。圆规可以把同一个长度保留下来。

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

基本作法与工具

基本尺规作图

垂直平分线 · 看动画 ↑角平分线 · 看动画 ↑

使用条件：使用无刻度直尺和圆规；只利用连线及以已知点为圆心、已知线段长为半径画圆。

不退化：例如作圆时半径大于 0，作三角形时三个顶点不共线；每种作图还须满足题面给出的条件。

基本作图：基本作图包括作等于已知线段的线段、作等于已知角的角、作角平分线、作垂线及垂直平分线。

作三角形：作三角形时用已知边角和全等条件确定。

作垂直平分线：以线段两端点为圆心，取相同且大于线段一半的半径画弧，两弧的两个交点的连线是该线段的垂直平分线。

作角平分线：以角顶点为圆心画弧交两边于两点，再以这两点为圆心、相同且足够大的半径画弧，在角内部取交点；连接顶点与该交点得到角平分线。

符号表达

作线段 AB 的垂直平分线时，以 A、B 为圆心、相同且大于 AB/2 的半径画弧，两交点记为 P、Q。

PA=PB,QA=QBPA=PB,\quad QA=QB

怎样理解

作图题要说明圆弧为何相交、所取交点为何符合要求。上方动画展示操作过程，下方保留一般作法、条件和依据。

理解时别漏掉：圆规保持相同半径是作图依据，不凭目测找中点或角平分线。三角形作图前还要检查所给条件能否形成不退化三角形。

尺规作图：复制线段与角

复制线段 · 看动画 ↑复制角 · 看动画 ↑

使用条件：使用无刻度直尺与圆规；给定正长度的线段，或大于 0° 且小于 180° 的角。

复制线段：先用圆规两端对准已知线段的两端，取得其长度。保持张口，以给定射线的端点为圆心画弧，交射线于一点；端点到交点的线段与已知线段等长。

复制角：以已知角的顶点为圆心画弧，交角的两边于两点；保持张口，在新顶点画弧交给定射线。再用圆规取得原弧与角两边的交点之间的距离，保持这一新张口，以新弧与射线的交点为圆心截取新弧；从新顶点经过所取交点作射线。

依据：复制线段利用等半径；复制角产生两组等半径和一组等弦，从而用 SSS 全等判定得到顶角相等。

符号表达

OA、OB 为原角两边上截出的等半径，O′A′、O′B′为新角中的对应半径；AB 为复制的弦。

OA=O′A′,OB=O′B′AB=A′B′△OAB=∽△O′A′B′\begin{gathered}OA=O'A',\quad OB=O'B'\\AB=A'B'\\\triangle OAB\cong\triangle O'A'B'\end{gathered}

半径与弦共同确定角

OA＝OB＝O′A′＝O′B′＝2，AB＝A′B′＝2，因此两顶角均为 60°。

两半径与弦分别复制后，形成 SSS 全等，所以顶角相等；不是凭看起来一样来复制角。

理解时别漏掉：新弧的两个方向可能对应两个镜像角；应在题目指定的一侧取交点。不要用量角器替代尺规作图。

尺规作图：过一点作垂线

线上一点作垂线 · 看动画 ↑线外一点作垂线 · 看动画 ↑

使用条件：给定直线 ℓ 与点 P；P 可以在线上，也可以在线外。

在线上：以 P 为圆心画弧交直线于两个不同点 U、V，使 PU＝PV；作 UV 的垂直平分线，它经过 P，且垂直于原直线。

在线外：以 P 为圆心，取足够大的半径画圆，使它交直线于两个不同点 U、V；作 UV 的垂直平分线，它经过 P，且垂直于原直线。

依据：两个交点到 P 等距，所以 P 在 UV 的垂直平分线上；U、V 确定原直线。

符号表达

PU=PVP 在 UV 的垂直平分线上\begin{gathered}PU=PV\\\text{P 在 UV 的垂直平分线上}\end{gathered}

P 在线上

U、V 到 P 等距。U、V 两等半径圆交于 Q、R，QR 经过 P 并垂直于 UV。

P 在线外

以 P 为圆心的圆交直线于 U、V。P 在 UV 的中垂线上。

在线上或在线外，都先找两个到 P 等距的交点 U、V，再作 UV 的中垂线。第二种情形不能让圆只与直线相切。

理解时别漏掉：在线外时，圆必须与直线相交于两个不同点；只有一个交点不能按此作法得到 UV。

尺规作图：过线外一点作平行线

线外一点作平行线 · 看动画 ↑

使用条件：同一平面内给定直线 ℓ 与不在 ℓ 上的点 P。

第一次作垂线：过 P 作直线 m 垂直于 ℓ。

第二次作垂线：再过 P 作直线 n 垂直于 m，则 n 是所求平行线。

依据：同一平面内，两条不同直线都垂直于同一直线时互相平行。

符号表达

ℓ⊥m,n⊥mn∥ℓ\begin{gathered}\ell\perp m,\quad n\perp m\\n\parallel\ell\end{gathered}

两次垂直得到平行

H 在 ℓ 上，P 在 n 上，PH 所在直线为 m。两个直角标志表示作图依据。

过 P 两次作垂线：m 垂直于原线，n 垂直于 m。不同的 ℓ、n 互相平行。

理解时别漏掉：P 不在 ℓ 上保证 n 与 ℓ 不重合；两次垂线都用尺规完成。

由边角条件作三角形

尺规作图：由边角条件作三角形

三边作三角形 · 看动画 ↑两边及夹角作三角形 · 看动画 ↑两角及夹边作三角形 · 看动画 ↑由底和高作等腰三角形 · 看动画 ↑直角边和斜边作三角形 · 看动画 ↑

使用条件：给定正长度的边与合法的角，且条件能组成不退化三角形。

三边：先复制一边，以其两端点为圆心、另外两边长为半径画弧，取两弧的一个交点为第三顶点。存在条件是任意两边之和大于第三边。

两边及夹角：先复制夹角，在两条射线上分别截取给定边长，再连接两个截点。

两角及夹边：先复制夹边，在两个端点向同一侧作给定角，两条射线的交点为第三顶点；两角之和必须小于 180°。

等腰三角形的底和高：复制底边，作其中垂线，在选定一侧截取给定高，再连接高的端点与底边两端。

直角边和斜边：复制直角边，在一个端点作垂线，以另一个端点为圆心、斜边长为半径画弧，交选定垂直射线于第三顶点；斜边须长于直角边。

符号表达

a、b、c 表示拟作三角形的三条边长。镜像作图可能有两个位置，选题目指定的一侧。

三边存在条件：a+b>c, b+c>a, c+a>b\begin{gathered}\text{三边存在条件：}\\a+b>c,\ b+c>a,\ c+a>b\end{gathered}

三边能构成三角形

AB＝BC＝CA＝2，两圆有两个交点；取上方交点 C，得到指定一侧的等边三角形。

等号导致退化

AB＝2、AC＝BC＝1，两圆外切于 C；AC＋BC＝AB，所以不能构成不退化三角形。

按三边作图要先检查存在条件；只得到两个圆相切的交点时，三个顶点共线，不是三角形。

理解时别漏掉：作图得到交点还不够；说明它满足哪些等长或角度条件，再引用 SSS、SAS、ASA 或 HL。

三角形的外接圆与内切圆

尺规作图：外接圆与内切圆

作三角形的外接圆 · 看动画 ↑作三角形的内切圆 · 看动画 ↑

使用条件：给定三个不共线的点，或由它们组成的三角形。

外接圆：作两条边的垂直平分线，交于 O；以 O 为圆心、O 到任一顶点的距离为半径画圆。

内切圆：作两个内角的平分线，交于 I；从 I 向一条边作垂线，垂足为 T；以 I 为圆心、IT 为半径画圆。

依据：垂直平分线的性质保证外心到三个顶点等距；角平分线的性质保证内心到三边所在直线等距。

符号表达

A、B、C 为顶点，O 为所作外心；内切圆的半径是垂直距离，不是 I 到顶点的距离。

OA=OB=OCOA=OB=OC

外心：到顶点等距

D、F 分别为 BC、AB 中点，两条中垂线交于 O。OA、OB、OC 为外接圆的半径。

内心：到边等距

I 是两个内角平分线的交点；IT 是内切圆半径，不是 I 到顶点的距离。

外接圆经过三个顶点，内切圆接触三条边。尺规作法分别使用中垂线与角平分线，不能把半径取错。

理解时别漏掉：三点共线时不存在这样的外接圆；钝角三角形的外心在外部，但内心仍在内部。

圆内接正方形与正六边形

尺规作图：圆内接正方形与正六边形

作圆内接正方形 · 看动画 ↑作圆内接正六边形 · 看动画 ↑

使用条件：给定圆及其圆心 O、正半径 R。

周向顺序：沿图形的边界依次命名顶点，不跳过顶点。

正方形：作两条互相垂直的直径，依次连接它们的四个端点，得到圆内接正方形。

正六边形：以圆上任一点开始，用等于半径的圆规开口沿圆周依次截取六点，再按周向顺序连接。

依据：正方形的相邻中心角都是 90°；正六边形的每个中心三角形都是等边三角形，中心角都是 60°。

符号表达

内接正方形边长：2R内接正六边形边长：R\begin{gathered}\text{内接正方形边长：}\sqrt2 R\\\text{内接正六边形边长：}R\end{gathered}

圆内接正方形

相邻中心角为 90°，边长为 √2R。

正六边形与中心三角形

OA＝OB＝AB＝2。T 是 AB 中点，OT 为边心距，∠AOB＝60°。

正方形用两条互相垂直的直径四等分圆；正六边形用半径截取六条等弦。六边形边长等于半径不是所有正多边形的通则。

理解时别漏掉：正六边形的边长等于外接圆半径；不能把这个关系套给所有正多边形。

圆外点作切线 · 进阶

进阶

尺规作图：过圆外一点作切线

过圆外一点作切线 · 看动画 ↑

使用条件：给定圆心 O 的圆与圆外一点 P，即 OP 大于该圆半径；作为作图选学内容。

作图：作 OP 的中点 M，以 M 为圆心、MO 为半径画圆；两圆交于 T₁、T₂，连接 PT₁、PT₂，并画出它们所在直线。

依据：新圆以 OP 为直径，所以 ∠OT₁P、∠OT₂P 都是直角；所作直线在圆上点处垂直于半径，因而为切线。

符号表达

∠OT1P=∠OT2P=90∘OT1⊥PT1,OT2⊥PT2\begin{gathered}\angle OT_1P=\angle OT_2P=90^\circ\\OT_1\perp PT_1,\quad OT_2\perp PT_2\end{gathered}

直径圆提供直角

原圆圆心 O、半径 2，P 在圆外。M 为 OP 中点，T₁、T₂ 为两圆交点。

以 OP 为直径的新圆产生两组直角，进而得到原圆的两条切线；M 只是辅助圆圆心。

理解时别漏掉：圆外点有两条切线；若 P 在圆上，这个“两交点作法”退化，不应继续标两条不同切线。