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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。
定义
使用条件：圆周角的顶点在圆上，两边与圆相交；圆周角大于 0°、小于 180°，不取优角。对应圆心角必须与它对着同一条弧。
圆周角定义：顶点在圆上，两边都与圆相交于顶点之外的另一点，且度数大于 0°、小于 180° 的角，叫作圆周角；它对着不含顶点的那条弧。
性质
圆周角定理
使用条件：圆周角的顶点在圆上，两边与圆相交；圆周角大于 0°、小于 180°，不取优角。对应圆心角必须与它对着同一条弧。
圆周角与圆心角：圆周角等于它所对弧的圆心角的一半。同一条弧所对圆周角相等。
同弦两侧：同圆中，同一弦所对的两个圆周角，顶点在弦的同侧时相等，在弦的异侧时互补。
符号表达
A、B、P 为圆上三个不同的点；θ 表示不含 P 的弧 AB 所对应圆心角的度数，可能大于 180°。
同侧：对着同一条弧
异侧：对着不同的弧
圆心在一条边上
圆心在角内部：相加
圆心在角外部：相减
同一条弦不等于同一条弧。第一幅图的 P、Q 在弦 AB 同侧，两个角相等；第二幅图的 P、Q 在异侧，两个角互补。
怎样理解
同一条弦有两条弧。两个顶点在弦的同侧时，对着同一条弧，圆周角相等；在弦的异侧时，对着不同的弧，两个圆周角互补。
先了解这些知识
圆周角定理：圆心在边上、内部或外部
A、B、P 为圆上三个不同点，θ 是不含 P 的弧 AB 所对应圆心角的度数，可为优角。作直径 PD，把圆心位置转化为射线 PD 在圆周角边上、内部或外部的三种情况。
基本情况：圆心在角的边上
先证明一条边经过圆心的关系，供后两种情况使用。
先证明一边经过圆心的情况
把经过圆心的一边记为 PD，另一边记为 PA。OP＝OA，△OPA 是等腰三角形，两底角相等；P、O、D 依次共线，∠AOD 是这个三角形的外角。
情况二：圆心在角内部
用基本情况分别计算两个小角，再相加。
圆心在角内部时相加
设 α＝∠APD、β＝∠DPB。两个圆周小角相加为原角，对应的两段不含 P 的弧相接，圆心角度数也相加。相加后的圆心角 θ 可能是优角，原圆周角仍小于 180°。
情况三：圆心在角外部
用基本情况计算两个角，再取它们的差。
圆心在角外部时相减
设 α＝∠APD、β＝∠BPD。两角在 PD 的同一侧，原角为它们之差的绝对值；对应弧的度数同样相减，不把大角或小角凭图混用。
合并结论
三种位置已分别证明，覆盖所有可能。
合并三种位置
圆心在边上、内部、外部三种情况都给出相同关系，圆周角是对应弧的圆心角的一半。
理解时别漏掉：圆心角要选与圆周角对应的那条弧。同弦异侧的两个圆周角互补；只有弦为直径时，它们也相等。
使用条件：A、B、P 是同一圆上的三个不同点，已知 AB 是直径。
直径推出直角：直径所对的圆周角是直角。
符号表达
O 为圆心。AB 是直径，所以不含 P 的弧 AB 为半圆弧，对应圆心角为 180°。
性质：已知 AB 是直径
怎样理解
使用前面已说明的圆周角定理：所对圆心角是 180°，圆周角取其一半，所以 ∠APB＝90°。
理解时别漏掉：P 不能与 A 或 B 重合；部分教材中的“泰勒斯定理”也指截线比例定理，引用时要核对具体结论。
等弧与圆周角
使用条件：同一圆或两个等圆，比较不含角顶点的对应弧。
等弧所对圆周角：同圆或等圆中，等弧所对的圆周角相等；所对的弧指不含角顶点的那条弧。
符号表达
图中 O、O′为两圆圆心，两圆半径相等；弧 AB、CD 分别不含 P、Q。
等弧推出等圆周角
怎样理解
等弧所对的圆心角相等，再各取一半得到圆周角相等。
理解时别漏掉：不同半径的圆，弧长相等不保证圆周角相等；要保留同圆或等圆条件。
使用条件：同一圆或两个等圆，已知两圆周角相等。
等圆周角所对的弧：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等；所对的弧指不含角顶点的那条弧。
符号表达
沿用 O、O′、A、B、C、D、P、Q，所对的弧分别不含 P、Q。
等圆周角推出等弧
怎样理解
相等的圆周角对应相等的圆心角；在同圆或等圆中，再由等圆心角得到等弧。
理解时别漏掉：等圆周角推出等弧，也要保留同圆或等圆，不能只比较不同大小圆中的角度。
直径判定
使用条件：A、B、P 是同一圆上的三个不同点，已知 ∠APB＝90°。
直角判定直径：直角所对的弦是圆的直径。
符号表达
O 为圆心，不能先把 AB 叫作直径。
判定：已知圆周角是直角
怎样理解
仍用圆周角定理，只是反向求对应弧：90° 的两倍是 180°，所以不含 P 的弧 AB 是半圆弧，其两个端点 A、B 连成的弦就是直径。
应用小例
另给条件：A、B、P 是同一个圆上三个不同点，∠APB＝90°。
选择方法：已有直角而未知直径，选直径的判定，不倒用性质。
理由：这个圆周角所对的弧为半圆，弦 AB 经过圆心。
结论：AB 是这个圆的直径；同圆条件不能省去。
理解时别漏掉：P 不能与 A 或 B 重合；部分教材中的“泰勒斯定理”也指截线比例定理，引用时要核对具体结论。