点、线与角 · 角的和与差、余角、补角与邻补角、对顶角

角的关系与计算

Angle Relationships and Calculations

本页目录角的和与差

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

角的和与差

使用条件：∠AOB 是大于 0° 且小于 180° 的角，射线 OC 在这个角的内部。

角的和：角内部的一条射线把这个角分成两个不重叠的小角，两个小角的度数之和等于原角的度数。

角的差：原角的度数减去其中一个小角的度数，等于另一个小角的度数。

符号表达

OC 在 ∠AOB 内部。

∠AOC+∠COB=∠AOB∠AOC=∠AOB−∠COB\begin{gathered}\angle AOC+\angle COB=\angle AOB\\\angle AOC=\angle AOB-\angle COB\end{gathered}

OC 在 ∠AOB 内部

α＝∠AOC、β＝∠COB；α＋β＝∠AOB，不要求 α、β 相等。

OC 在 ∠AOB 外部

α＝∠AOB、β＝∠BOC；此时 α＋β＝∠AOC，不要求 α、β 相等。

射线在角内部，两个小角才恰好组成原角；射线在外部时，要重新寻找整体角。

理解时别漏掉：OC 在角外时不能使用这个加法式；要先识别哪个角是整体。

余角、补角与邻补角

对顶角

使用条件：两条不同直线相交；每对对顶角有公共顶点，两边分别互为相反射线。

对顶角定义：两个角有公共顶点，且一个角的两边分别是另一个角两边的相反射线，这两个角叫作对顶角。

理解时别漏掉：“对顶”描述的是两个角的位置关系，不是指竖直方向。

使用条件：两条不同直线相交；每对对顶角有公共顶点，两边分别互为相反射线。

性质：两条相交直线形成的两组对顶角分别相等。

符号表达

直线 AB、CD 交于 O，A、B 在 O 两侧，C、D 在 O 两侧。

∠AOC=∠BOD\angle AOC=\angle BOD

两条直线相交

A、O、B 共线，C、O、D 共线；∠AOC＝∠BOD。

对顶角的两边分别互为反向射线；仅共用顶点不能判定为对顶角。

对顶角为何相等

直线 AB、CD 交于 O，A、B 在 O 两侧，C、D 在 O 两侧。设 α＝∠AOC、γ＝∠BOD、β＝∠COB；α 与 γ 是对顶角，β 同时与它们构成邻补角。

  1. 分别写邻补角

    同一直线上的邻补角之和为 180°。

    α+β=180∘γ+β=180∘\begin{gathered}\alpha+\beta=180^\circ\\\gamma+\beta=180^\circ\end{gathered}

  2. 减去同一个角

    两式分别减去 β，得到 α＝γ。

    α=180∘−β=γ\alpha=180^\circ-\beta=\gamma

理解时别漏掉：“对顶”描述的是两个角的位置关系，不是指竖直方向。