线段与折线的长度比较

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

线段最短 · 基本事实

使用条件：比较连接同一对不同端点的路线。

两点之间线段最短：两点之间，线段最短。经过中间点的折线路程不小于两端点间的线段长；只有中间点在线段上时，两者才相等。

A、B 为不同的端点，P 为任意中间点；P 可以与端点重合。

AP+PB\ge AB

AP＋PB＝AB；三点共线，不构成三角形。

AP＋PB＞AB；两段折线比直达路线长。

线段上的中间点不会增加路程。离开线段后就需要绕行；三点形成真正的三角形时，两边之和严格大于第三边。

“共线”还不够：中间点在线段外时，路线会先走过头再折返，路程仍比直接连接两端点长。

理解时别漏掉：AP＋PB＝AB 当且仅当 P 在线段 AB 上，含端点；只说三点共线还不够。

使用条件：比较同一对端点之间的折线路程与直接距离；中间点允许共线或重合。

折线路程与距离和比较：折线的各段长度之和不小于首尾两点间的距离。只有各点沿首尾线段的同一方向依次排列、没有绕行或折返时，才相等。

折线依次经过 A、P、Q、B；相邻点允许重合。

AP+PQ+QB\ge AB

理解时别漏掉：真正的三角形满足严格的“＞”；包含共线位置的距离比较才写“≥”。

使用条件：两个不同的固定点与一个任意动点，在同一平面内。

取等：指不等式中的等号成立。讨论最值时，还要检查能使等号成立的位置是否符合题目条件。

距离差的绝对值比较：动点到两个固定点的距离差的绝对值，不大于两个固定点之间的距离。只有动点在线段的两侧延长线上或两个端点处，才相等。

A、B 为不同的固定点，P 为动点。

|PA-PB|\le AB

PB−PA＝AB。

|PA−PB|＜AB。

距离差达到两固定点间的距离，不仅需要共线，还要求动点不在线段内部。

理解时别漏掉：取等包括 A、B 两端点和两侧延长线，不包括线段内部。