点、线与角 · 定义、性质、点到直线的距离

垂直的定义、性质与距离

Perpendicular Lines: Definition, Properties and Distance

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：在同一平面内。

垂直：两条直线相交成直角时，互相垂直。

符号表达

a⊥ba\perp b

垂足与垂线段

使用条件：过一点向给定直线作垂线；定义非零垂线段时，点在线外。

垂足：过一点向一条直线作垂线，垂线与这条直线的交点叫作垂足；该点已在直线上时，垂足就是该点本身。

垂线段：直线外一点与它在这条直线上的垂足之间的线段，叫作这个点到这条直线的垂线段。

符号表达

A 在 ℓ 外，AH⊥ℓ，H 在 ℓ 上。H 是点，AH 是有限线段。

AH⊥ℓAH\perp\ell

垂足是点，垂线段是线段

A 在线 ℓ 外，AH⊥ℓ；H 是垂足，AH 是垂线段，整条垂线没有有限长度。

理解时别漏掉：垂线是无限延伸的直线；垂足是交点；垂线段才有有限长度，不能混称。

性质

垂直的性质

使用条件：在同一平面内。

垂线的唯一性：同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线。

平行关系：同一平面内，两条不同直线都垂直于同一直线时，它们互相平行。

平行线的垂线：同一平面内，一条直线垂直于两条平行线中的一条，也垂直于另一条。

符号表达

若 a⊥c, b⊥c (a≠b)则 a∥b\begin{gathered}\text{若 }a\perp c,\ b\perp c\ (a\ne b)\\\text{则 }a\parallel b\end{gathered}

理解时别漏掉：点可以在线上或线外；平行结论需保留“同一平面内”。

点到直线的距离

使用条件：点在直线外；比较从这个点连到直线上各点的线段。

取等：指不等式中的等号成立。讨论最值时，还要检查能使等号成立的位置是否符合题目条件。

垂线段最短与点到直线的距离：直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短。这个垂线段的长度，叫作点到直线的距离。

符号表达

A 在直线 l 外，AH⊥l，H 在 l 上，P 可取 l 上任意点。AP≥AH，仅在 P＝H 时相等。

AP≥AHAP\ge AH

垂直落在线上

AH 是点 A 到直线的距离。

斜着连到另一个点

P≠H，所以 AP＞AH。

H 是垂足，P 是同一直线上的另一个点。两图的起点和直线相同，垂线段 AH 比斜线段 AP 短。

怎样理解

这里比较的是有长度的线段，不是无限延伸的直线。把落点从垂足移开，连接线段就会变长。

证明怎样读：首次学习可以先理解并使用垂线段最短的结论。本页选用勾股定理解释原因；学过“勾股定理”后再读这份证明。

先了解这些知识

用勾股定理解释垂线段最短

A 在线 ℓ 外，AH⊥ℓ，H 为垂足；P 是 ℓ 上不同于 H 的点。

  1. 比较长度的平方

    △AHP 在 H 处为直角；HP＞0，因此 AP² 比 AH² 大。

    AP2=AH2+HP2HP2>0\begin{gathered}AP^2=AH^2+HP^2\\HP^2>0\end{gathered}

  2. 得到最短及取等位置

    长度为正，所以 AP＞AH。若 P＝H，则 AP＝AH；因此 AH 是最短线段。

    P≠H 时，AP>AHP=H 时，AP=AH\begin{gathered}P\ne H\text{ 时，}AP>AH\\P=H\text{ 时，}AP=AH\end{gathered}

理解时别漏掉：“垂线”无限延伸，没有长度；有长度并参与比较的是垂线段。