本页目录用矩形区分定义、性质与判定
示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。
用矩形区分定义、性质与判定
下面比较三句话的作用；图形帮助理解，不代替证明。
同一个矩形 ABCD
定义：什么叫矩形？
四个角都是直角的四边形叫作矩形。这是在规定“矩形”这个名称的含义；也可以等价地定义为“有一个直角的平行四边形”。
性质：已知是矩形，能推出什么？
已知 ABCD 是矩形，可以推出两条对角线相等，即 。
判定：哪些条件能确定它是矩形？
已知 ABCD 是平行四边形，且 ，就可以判定它是矩形。
判定中的“平行四边形”不能省略：一个非矩形的等腰梯形也有相等的对角线，但它不是矩形。
知识的类型
定义、基本事实、定理与推论
使用条件：区分几何知识中的约定、起点和经过论证的结论。
定义：用明确的语言规定一个概念的含义，叫作定义。定义说明对象是什么，不是待证明的结论。
基本事实：在一个数学体系中作为推理起点、无需在该体系内证明的事实，叫作基本事实，也称公理。
定理：由定义、基本事实或已经证明的结论，经逻辑推理证明为真的命题，叫作定理。
推论：从一个定理较直接地推出的结论，叫作推论；推论同样需要有推理依据。
性质：从对象的身份出发，说明它具有哪些特征。
判定：满足一条判定要求的全部条件，就能确定对象属于哪一类。
公式：用符号表达量之间的关系，使用时要满足相应条件。
符号表达
沿用前面的矩形 ABCD，S 表示面积。下面把“面积等于长乘宽”写成符号表达；前提是已知它为矩形，写出公式本身不是一次证明。
作图：按要求构造图形，并说明作法为什么满足条件。
名称之间的关系
名称的关系：这些名称不是互斥的等级。性质与判定说明结论的使用方向；经过证明的性质或判定，也可以是一条定理。推论同样是已经证明的结论。
理解时别漏掉：名称不能代替条件。引用“定理”时必须确认当前图形满足它的前提。
命题、真假与逆定理
先分清条件与结论
使用条件：读一个“如果……那么……”的陈述。
命题：能够判断真假的陈述句叫作命题。要求作图或提出问题的句子，不是这种意义的命题。
条件与结论：“如果……那么……”中的“如果”部分是条件，“那么”部分是结论。命题是否为真，要检查满足条件时结论是否总成立。
符号表达
条件是“ABCD 是正方形”，结论是“四个角都是直角”。
正方形满足性质
这句话从正方形的身份出发，得到四个直角的结论。
再判断真假
使用条件：先核对条件，再检查结论是否对所有满足条件的对象成立。
真命题：判断正确的命题叫作真命题。对“如果……那么……”形式的命题，须在条件成立的所有情形中，结论都成立；不能只看一个例子。
假命题：判断错误的命题叫作假命题。要否定一个“如果……那么……”的普遍说法，只需找到满足条件而结论不成立的情形；这样的情形叫作反例。
怎样理解
“正方形的四个角都是直角”是真命题。把条件和结论倒过来是否仍成立，要另外检查，下面就给出反例。
使用条件：原命题与它的逆命题分别判断真假。
逆命题：交换原命题的条件与结论，得到它的逆命题。原命题为真，逆命题不一定为真。
符号表达
原命题为真；下面把它的条件与结论交换，得到一个假的逆命题。
逆命题不成立
这个矩形有四个直角，却没有四条等长的边；因此这个逆命题为假。
理解时别漏掉：长宽不相等的矩形有四个直角，却不是正方形。它否定的是“四个角都是直角的四边形一定是正方形”这个逆命题。
逆命题证明为真后，才叫逆定理
使用条件：两个方向都已有证明；不能仅凭交换条件与结论就成立。
逆定理：一条定理的逆命题经过证明也为真，才叫作这条定理的逆定理；交换条件与结论，并不会自动得到成立的定理。
互逆定理：两条定理的条件与结论互相交换时，称为互逆定理。例如勾股定理与勾股定理的逆定理；两个方向分别需要依据。
使用条件：分别确认出发条件与要推出的结论。
性质与判定：性质通常从对象的身份推出特征；判定从给定的特征确认对象的身份，所用判定要求的条件必须全部满足。使用逆向结论前，应单独确认其成立。
证明、反例与反证法
使用条件：需要确定一个几何命题对所有满足条件的对象是否成立。
证明：从已知条件出发，引用定义、基本事实与已经成立的结论，逐步推出待证结论，叫作证明。
反例：对于声称所有满足条件的对象都具有某性质的命题，只要找到一个满足条件却不满足结论的对象，就能判定该命题为假。
符号表达
S₁、S₂ 表示两个矩形的面积。一个长 6、宽 2，另一个长 4、宽 3，面积都为 12，但边长不同，不能完全重合。
长 6、宽 2 的矩形
长 4、宽 3 的矩形
两图面积都为 12，但第一图有长度为 6 的边，第二图没有，因此不能完全重合。它们否定了“面积相等的图形一定全等”。
理解时别漏掉：反例必须满足原条件。几个正确例子不能证明一般命题；反例和反证法不是同一方法。
使用条件：已知一个三角形有一个直角，要说明它不能再有第二个直角。
不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。
反证法：先假设待证结论不成立，再从这一假设和已知条件推出矛盾，从而证明原结论成立。
符号表达
已知 ∠A＝90°；β、γ 是 B、C 处的角名。
反证小例：已有一个直角
反证法是在假设下推理，不是找一个反例。假设产生矛盾后才把它否定；不能把假设的直角提前画成已知标记。
证明怎样读：这个小例需要三角形内角和。初读本页时可先理解反证法的过程；学过内角和后，再逐步核对为什么会产生矛盾。
先了解这些知识
反证法小例：三角形不能有两个直角
在不退化 △ABC 中已知 ∠A＝90°，要证明 ∠B≠90°。暂时假设与要证明的结论相反，再检查这个假设会导致什么。这是展示反证过程的小例，不是在证明三角形内角和定理。
假设要证明的结论不成立
我们要证明 B 不是直角，所以反证时暂时假设 ∠B＝90°。这是待排除的假设，不是题目给出的第二个直角条件。
沿假设推下去，得到矛盾
三角形内角和为 180°。若 A、B 都是 90°，就只能得到 ∠C＝0°；但不退化三角形的每个内角都大于 0°，与此矛盾。
否定假设，回到原结论
因此“B 也是直角”的假设不能成立，∠B≠90°。同理 C 也不能是直角，所以一个三角形不能有两个直角。这里是用矛盾证明结论，不是用某一幅图的读数作为证据。
理解时别漏掉：反例用于否定一个普遍说法；反证法通过排除相反的假设来证明结论。这里的三角形内角和是已经学过后使用的依据。
常用几何记号
使用条件：记号用于已明确的对象和对应关系，不代替证明依据。
平行与垂直记号：a∥b 表示两条直线平行，a⊥b 表示互相垂直；使用前要知道字母表示的具体直线。
全等与相似记号：△ABC 表示三角形 ABC；≌ 表示全等，∽ 表示相似。两个三角形名称的字母顺序给出顶点对应，不能随意换顺序。
因为与所以记号：∵ 表示“因为”，引出所使用的条件或依据；∴ 表示“所以”，引出由这些依据推出的结论。符号本身不能代替推理。