三角形 · 定义、性质、判定与拓展

角平分线的定义、性质、判定与拓展

Angle Bisectors: Definition, Properties, Criteria and Extensions

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：大于 0°、小于 180° 的角。

角平分线：把一个角分成两个相等角的射线，叫作这个角的角平分线。

符号表达

射线 OC 在 ∠AOB 内部，且平分 ∠AOB。

∠AOC=∠COB\angle AOC=\angle COB

角平分线：比较两个角

OC 在角内部，∠AOC＝∠COB。

角平分线从角顶点出发，把角分成两个相等的角。

理解时别漏掉：角平分线的定义不等于到两边等距的定理。

性质

使用条件：P 在 ∠AOB 的内角平分线上，可以是顶点 O；到两边所在直线量垂直距离。

性质：角平分线上的点到角两边所在直线的垂直距离相等。

符号表达

O 为顶点；H、K 是垂足，P＝O 时只谈零距离，不构造三角形。

已知 P 在角平分线上则 PH=PK\begin{gathered}\text{已知 P 在角平分线上}\\\text{则 }PH=PK\end{gathered}

性质：角平分线上的点等距

已知射线 OP 平分 ∠AOB；PH⊥OA、PK⊥OB，得到 PH＝PK。

距离是垂线段的长度，不是把 P 随便连到两边上两点得到的长度。

先了解这些知识

角平分线上的点为何到两边等距

∠AOB 大于 0°、小于 180°，P 在它的内部平分线上，H、K 分别为到 OA、OB 所在直线的垂足。先处理顶点重合；距离指垂直距离。

  1. 先处理顶点，再看两个直角三角形

    若 P＝O，到两边的距离都是 0。若 P≠O，两个半角都小于 90°，垂足在两条正向射线上，两个直角三角形有公共斜边 OP。

    P=O 时，两距离均为 0以下设 P≠O∠OHP=∠OKP=90∘∠HOP=∠KOPOP=OP\begin{gathered}P=O\text{ 时，两距离均为 }0\\\text{以下设 }P\ne O\\\angle OHP=\angle OKP=90^\circ\\\angle HOP=\angle KOP\\ OP=OP\end{gathered}

  2. AAS 得到等距

    两角及一个角的对边分别相等，用 AAS 得到全等，再读出 PH＝PK。

    ∴△OHP=∽△OKP(AAS)PH=PK\begin{gathered}\therefore\triangle OHP\cong\triangle OKP\\(\mathrm{AAS})\\PH=PK\end{gathered}

理解时别漏掉：这里是到两边的垂直距离，不是到两边上随意选点的距离；不要与角平分线分边比例定理混淆。

判定

使用条件：大于 0°、小于 180° 的角，点 P 在角内部，已知到两边所在直线的垂直距离相等。

不退化：用于全等判定的三角形须有三个不共线的顶点；证明中须先排除垂足与顶点重合等情况。

判定：一个角内部到角两边所在直线的垂直距离相等的点，在这个角的平分线上。

符号表达

O 为顶点；H、K 分别是 P 到 OA、OB 所在直线的垂足，不预设它们都在正向射线上。

∵P 在 ∠AOB 内部PH⊥OA,PK⊥OBPH=PK∴∠AOP=∠POB射线 OP 平分 ∠AOB\begin{gathered}\because P\text{ 在 }\angle AOB\text{ 内部}\\PH\perp OA,\quad PK\perp OB\\PH=PK\\\therefore\angle AOP=\angle POB\\\text{射线 OP 平分 }\angle AOB\end{gathered}

判定：角内部的点等距

已知 P 在角内部、PH⊥OA、PK⊥OB、PH＝PK，推出射线 OP 是角平分线；不预先标等角。

先了解这些知识

角内部等距点的判定（不偷设垂足位置）

P 在 ∠AOB 内部且 PH＝PK，H、K 为到两边所在直线的垂足。因为两个小角之和小于 180°，至少一个小角为锐角；先设 α＝∠AOP＜90°，另一种情况交换两边名称即可。

  1. 先确定一个正向垂足

    锐角 α 保证 H 在射线 OA 上：若 H＝O 就成直角；若 H 在反向延长线，原角与直角三角形中的锐角互补，就成钝角，均与 α＜90° 矛盾。

    ∵α<90∘∴H 在射线 OA 上，H≠O\begin{gathered}\because\alpha<90^\circ\\\therefore H\text{ 在射线 OA 上，}H\ne O\end{gathered}

  2. 排除另一垂足等于顶点

    直角三角形 OHP 的斜边 OP 长于 PH。若 K＝O，则 PK＝PO＞PH，不能满足等距，所以 K≠O。

    ∵OP>PHPH=PK∴K≠O\begin{gathered}\because OP>PH\\ PH=PK\\\therefore K\ne O\end{gathered}

  3. HL 比较两直角三角形

    两三角形都不退化，有公共斜边 OP 和相等直角边 PH、PK，用 HL 得到 O 处对应锐角相等。

    ∵OP=OPPH=PK∴△OHP=∽△OKP(HL)∠HOP=∠KOP=α\begin{gathered}\because OP=OP\\ PH=PK\\\therefore\triangle OHP\cong\triangle OKP\\(\mathrm{HL})\\\angle HOP=\angle KOP=\alpha\end{gathered}

  4. 排除反向延长线

    若 K 在 OB 的反向延长线上，则 ∠POB＝180°−α；加上 ∠AOP＝α，原角就成为 180°，与题设矛盾。所以 K 在射线 OB 上。

    若 K 在反向延长线，∠POB=180∘−α∠AOB=α+(180∘−α)=180∘，矛盾\begin{gathered}\text{若 K 在反向延长线，}\\\angle POB=180^\circ-\alpha\\\angle AOB=\alpha+(180^\circ-\alpha)\\=180^\circ\text{，矛盾}\end{gathered}

  5. 回到原角的平分关系

    两个垂足均在正向射线上，HL 得到的等角就是原角的两个部分；OP 因而是内角平分线。

    ∴∠AOP=∠POBOP 平分 ∠AOB\begin{gathered}\therefore\angle AOP=\angle POB\\OP\text{ 平分 }\angle AOB\end{gathered}

理解时别漏掉：这里是到两边的垂直距离，不是到两边上随意选点的距离；不要与角平分线分边比例定理混淆。

仅在角内部，还不能保证垂足在两射线上

距离量到两边所在直线，垂足可以落在边的反向延长线上。图中 ∠AOB＝120°、∠AOP＝10°；P 在角内部，K 却在 OB 的反向延长线上。此时 PH≠PK，不满足等距条件，所以没有推翻等距判定。

怎样理解

P 在角内部，并不能单独保证两个垂足都在正向射线上；等距判定的证明已经排除了不合条件的位置。

内角平分线分边比例 · 进阶

进阶

使用条件：三角形的一条内角平分线与对边相交。

角平分线分边成比例：三角形内角的平分线把对边分成的两条线段，与这个角的两条邻边对应成比例。

符号表达

△ABC 的内角平分线 AD 交 BC 于 D；BD 对应邻边 AB，DC 对应邻边 AC。

BDDC=ABAC\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

内角平分线分边比例

AD 平分 ∠BAC；示例 AB＝3、AC＝4，BD∶DC＝3∶4。

D 在 BC 内部；BD/DC 对应的是 AB/AC，不能颠倒其中一组。

怎样理解

想比较 BD 与 DC，可以比较以它们为底的 △ABD、△ACD 的面积。再把 AB、AC 当作底，利用 D 到角两边等距，得到同一个面积比的另一种写法。

先了解这些知识

分边比例为什么等于邻边比

△ABC 不退化，AD 是内角平分线，D 在 BC 内部。为把两组边长的比联系起来，比较同一对 △ABD、△ACD 的面积。S₁、S₂ 分别表示它们的面积。从 D 向 AB、AC 所在直线作垂线段 DH、DK，从 A 向 BC 所在直线作垂线段 AM；H、K、M 为垂足。这些垂线段用于确定各个底对应的高，不要求垂足在线段内部。

  1. 以两个分段为底，使用同一个高

    BD、DC 都在 BC 所在直线上，两个三角形从 A 到这条直线的高相同，都是 AM；面积公式中的 1/2 和 AM 约去。

    S1=12BD⋅AMS2=12DC⋅AM∴S1S2=BDDC\begin{gathered}S_1=\frac12 BD\cdot AM\\S_2=\frac12 DC\cdot AM\\\therefore\frac{S_1}{S_2}=\frac{BD}{DC}\end{gathered}

  2. 改以两条邻边为底，使用相等的高

    D 在 ∠BAC 的角平分线上，由角平分线的等距性质得到 DH＝DK。以 AB、AC 为底，对应的高分别是 DH、DK，故同一对三角形的面积比也等于 AB/AC。

    ∵DH=DKS1=12AB⋅DHS2=12AC⋅DK∴S1S2=ABAC\begin{gathered}\because DH=DK\\S_1=\frac12 AB\cdot DH\\S_2=\frac12 AC\cdot DK\\\therefore\frac{S_1}{S_2}=\frac{AB}{AC}\end{gathered}

  3. 把同一个面积比连接起来

    两次比较的都是 △ABD 与 △ACD，顺序没有改变，因此 BD/DC＝AB/AC。面积为正，所用的分母也都为正。

    ∴BDDC=ABAC\therefore\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

理解时别漏掉：这不是“到两边等距”的性质；要区分两个都可能被叫作角平分线定理的结论。

外角平分线 · 扩展

扩展

使用条件：△ABC 不退化，AB≠AC；A 处外角平分线所在直线与 BC 所在直线交于 D。

比例：三角形的外角平分线在对边所在直线上作外分，两个分段的长度比等于两条邻边的长度比。

符号表达

D 不在线段 BC 内部；BD、DC 都表示正长度。

BDDC=ABAC\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}

外角平分线所在直线作外分

AU 是 AB 向 A 外的延长射线，AT 平分外角 ∠UAC。AT 所在直线交 BC 延长线于 D，BD/DC＝6/10＝AB/AC。

对照：内角平分线 AE

E 在线段 BC 内部，BE＝1.5、EC＝2.5，BE/EC 同样为 AB/AC＝3/5。

内分点在 BC 内，外分点在 BC 延长线上；两种图的正长度比都是 AB/AC，但不能使用同一个分段和式。

怎样理解

内、外角平分线的比例式相似，但分点所在范围不同；先判断点序，再使用比例。

先了解这些知识

理解时别漏掉：不能省略 AB≠AC，也不能把外分点当作内分点来写 BD＋DC＝BC。

扩展

使用条件：△ABC 不退化，AB＝AC；讨论 A 处外角平分线与底边所在直线的关系。

等腰例外：若两邻边相等，外角平分线平行于底边所在直线，不存在有限的交点 D。

符号表达

ℓ 为 A 处外角平分线所在直线；此时不存在与 BC 所在直线的有限交点 D。

ℓ∥BC\ell\parallel BC

怎样理解

等腰三角形的顶角平分线垂直于底边。内角与相邻外角互补，平分后两角的和为 90°，所以内外角平分线互相垂直。因此，外角平分线所在直线与底边都垂直于顶角平分线，两者平行。

先了解这些知识

内角平分线长公式 · 扩展

扩展

内角平分线长公式

使用条件：△ABC 不退化，AD 平分 ∠BAC，D 在 BC 上。

分段形式：内角平分线的长度平方，等于两条邻边长度之积减去对边两个分段长度之积。

三边形式：设 BC＝a、CA＝b、AB＝c，则 AD²＝bc·[1−a²/(b＋c)²]。

符号表达

AD2=AB⋅AC−BD⋅DCAD2=bc(1−a2(b+c)2)\begin{gathered}AD^2=AB\cdot AC-BD\cdot DC\\AD^2=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)\end{gathered}

内角平分线 AD

已知 AD 平分 ∠BAC，D 在线段 BC 内部；邻边 AB、AC 对应分段 BD、DC。

先用 BD/DC＝AB/AC 确定分段，再用斯图尔特关系求 AD。角平分线不必是高或中线。

怎样理解

先由角平分线比例求 BD、DC，再代入斯图尔特定理，就得到长公式。

先了解这些知识

内角平分线长公式的推导

沿用 a＝BC、b＝CA、c＝AB，令 m＝BD、n＝DC、d＝AD；AD 是内角平分线。

  1. 先求对边分段

    角平分线定理给出 m/n＝c/b，加上 m＋n＝a，解得两个分段。

    m=acb+cn=abb+c\begin{gathered}m=\frac{ac}{b+c}\\n=\frac{ab}{b+c}\end{gathered}

  2. 代入斯图尔特定理

    左边的加权平方和化为 abc，再约去 a＞0。

    b2m+c2n=abca(d2+mn)=abcd2=bc−mn\begin{gathered}b^2m+c^2n=abc\\a(d^2+mn)=abc\\d^2=bc-mn\end{gathered}

  3. 改写为三边形式

    把两段的乘积代入，得到只含三边的公式。

    d2=bc(1−a2(b+c)2)d^2=bc\left(1-\frac{a^2}{(b+c)^2}\right)

理解时别漏掉：公式只用于内角平分线；外角平分线不能照搬这个减法式。