三角形 · 定义、性质、判定

垂直平分线的定义、性质与判定

Perpendicular Bisectors: Definition, Property and Criterion

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：线段的两个端点不同，所讨论的点与线段在同一平面内。

定义：垂直于一条线段且经过它的中点的直线，叫作这条线段的垂直平分线。

符号表达

A、B 为线段端点，P 为所讨论的点。

理解时别漏掉：“垂直”和“经过中点”缺一不可；垂足不一定是中点。

性质

使用条件：P 在线段 AB 的垂直平分线上；A、B 不同。

不退化：A、B 是不同点；P 与中点 M 重合时单独处理，不使用零长度 PM 构造三角形。

性质：线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等。

符号表达

M 为 AB 的中点；P 可以与 M 重合。

已知 P 在 AB 的垂直平分线上则 PA=PB\begin{gathered}\text{已知 P 在 AB 的垂直平分线上}\\\text{则 }PA=PB\end{gathered}

点在垂直平分线上

M 是 AB 中点，PA＝PB。

点偏离垂直平分线

M 仍是 AB 中点，但 PA≠PB。

到端点等距，是整条垂直平分线上的点都具有的关系；只在中点附近或只在某条垂线上都不够。

先了解这些知识

性质：为什么到两端点等距

A、B 不同，M 是 AB 的中点，P 在 AB 的垂直平分线上。要证明 PA＝PB；先分开 P＝M 与 P≠M。

  1. P 与中点重合

    P＝M 时，PA＝MA、PB＝MB。中点定义给出 MA＝MB，所以 PA＝PB；不需要构造三角形。

    P=M,MA=MB∴PA=PB\begin{gathered}P=M,\quad MA=MB\\\therefore PA=PB\end{gathered}

  2. 非重合时用 SAS

    P≠M 时，PM 垂直于 AB。AM＝BM，PM 为公共边，两个夹角均为直角，按 SAS 得到 △AMP≌△BMP，因此 PA＝PB。

    ∠AMP=∠BMP=90∘△AMP=∽△BMP (SAS)∴PA=PB\begin{gathered}\angle AMP=\angle BMP=90^\circ\\\triangle AMP\cong\triangle BMP\ (\mathrm{SAS})\\\therefore PA=PB\end{gathered}

理解时别漏掉：P＝M 时直接使用中点定义；只有 P≠M 时才比较两个不退化三角形。

判定

使用条件：P 与不同的两个端点 A、B 在同一平面内，已知 PA＝PB。

判定：到一条线段两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

符号表达

为寻找中垂线，取 AB 的中点 M；P≠M 时连接 PM，垂直关系尚待证明。

若 PA=PB则 P 在 AB 的垂直平分线上\begin{gathered}\text{若 }PA=PB\\\text{则 P 在 AB 的垂直平分线上}\end{gathered}

判定：只给到两端点等距

已知 PA＝PB。为找到垂直平分线，作 AB 的中点 M，连接 PM；中点刻痕来自作图，不预标 PM 垂直于 AB。

等距是已知条件，垂直是要推出的结论；连接中点与 P 后，先比较三边，再证明两个邻补角相等。

先了解这些知识

判定：为什么等距点在垂直平分线上

A、B 不同，只已知 PA＝PB。取 AB 的中点 M；P≠M 时连接 PM，但不预设 PM⊥AB。

  1. P 与中点重合

    若 P＝M，它就是 AB 的中点，自然属于经过 M 的垂直平分线；不命名退化的直线 PM。以下只讨论 P≠M。

    P=MP 在 AB 的垂直平分线上\begin{gathered}P=M\\\text{P 在 AB 的垂直平分线上}\end{gathered}

  2. 先排除 P 在 AB 所在直线上

    若 P 在线段 AB 上，PA＝PB 使 P 只能是中点 M；若在任一侧延长线上，两距离之差为 AB＞0，不能相等。因此 P≠M 且等距时，P 在直线 AB 外，两个三角形都不退化。

    P≠M,PA=PBP 在直线 AB 外\begin{gathered}P\ne M,\quad PA=PB\\\text{P 在直线 AB 外}\end{gathered}

  3. 三边相等，得到两个等角

    PA＝PB 是已知，AM＝BM 来自所作中点，PM 是公共边。按 SSS 得到 △AMP≌△BMP，所以 M 处的两个角相等；到这里还没有把直角当作已知。

    PA=PB,AM=BM△AMP=∽△BMP (SSS)∴∠AMP=∠BMP\begin{gathered}PA=PB,\quad AM=BM\\\triangle AMP\cong\triangle BMP\ (\mathrm{SSS})\\\therefore\angle AMP=\angle BMP\end{gathered}

  4. 等角又互补，才得到垂直

    A、M、B 依次共线，所以两个等角是邻补角，和为 180°，每个为 90°。于是 PM⊥AB；它又经过中点 M，P 就在 AB 的垂直平分线上。

    ∠AMP+∠BMP=180∘∠AMP=∠BMP=90∘∴PM⊥AB\begin{gathered}\angle AMP+\angle BMP=180^\circ\\\angle AMP=\angle BMP=90^\circ\\\therefore PM\perp AB\end{gathered}

理解时别漏掉：等距关系要对应线段 AB 的两个端点，不能把其他距离替换进来。P＝M 时也满足判定，不必排除中点。