三角形 · 定义、性质、判定

等边三角形的定义、性质与判定

Equilateral Triangles: Definition, Properties and Criteria

本页目录定义

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形。

性质

使用条件：已知不退化三角形的三条边相等。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

性质：等边三角形的三个内角相等，每个角都是 60°。

符号表达

△ABC 为等边三角形。

AB=BC=CA∠A=∠B=∠C=60∘\begin{gathered}AB=BC=CA\\\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\end{gathered}

三边相等

已知 AB＝BC＝CA，三个内角都是 60°。

性质图从三边相等出发；判定图只标三角相等，或两腰相等和一个 60° 角。

先了解这些知识

等边三角形的三个角为何都是 60°

△ABC 的三边相等。分别看作等腰三角形，再使用内角和；不从示意图量角。

  1. 两次使用等边对等角

    AB＝AC 给出 ∠B＝∠C；AB＝BC 给出 ∠A＝∠C，所以三个角相等。

    ∵AB=ACAB=BC∴∠B=∠C∠A=∠C\begin{gathered}\because AB=AC\\ AB=BC\\\therefore\angle B=\angle C\\\angle A=\angle C\end{gathered}

  2. 用内角和求每个角

    三个相等角之和为 180°，每个都为 60°。

    ∵∠A+∠B+∠C=180∘∴∠A=∠B=∠C=60∘\begin{gathered}\because\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\\\therefore\angle A=\angle B=\angle C=60^\circ\end{gathered}

判定

使用条件：不退化三角形；分别给定三个内角相等，或已知等腰且有一个 60° 角。

判定：三个内角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60° 的等腰三角形也是等边三角形。

符号表达

△ABC 为所讨论的不退化三角形。

判定一：三个内角相等

已知三个内角相等，由内角和得每个角 60°，再判定三边相等。

判定二：等腰且有 60° 角

本图给出 AB＝AC、顶角 ∠A＝60°，可以判定为等边三角形；若给出的 60° 是底角，结论也成立，见下方证明的底角情况。

先了解这些知识

两个等边判定方法为何成立

以下两个方法独立使用：一是三个内角相等，二是已知等腰并有一个角为 60°。第二种必须区分这个角是顶角还是底角。

方法一：三个内角相等

不预先知道任何两边相等。

  1. 三个角相等的情况

    对两对等角分别使用等角对等边，得到三边相等，按定义是等边三角形。

    ∵∠A=∠B=∠C∴BC=AC=AB\begin{gathered}\because\angle A=\angle B=\angle C\\\therefore BC=AC=AB\end{gathered}

方法二 · 顶角为 60°

已知等腰；给出的 60° 角是顶角。

  1. 60° 是顶角的情况

    等腰的两个底角相等；它们的和是 120°，所以每个也是 60°。

    ∵∠A=60∘∠B=∠C∴∠B=∠C=180∘−60∘2=60∘\begin{gathered}\because\angle A=60^\circ\\\angle B=\angle C\\\therefore\angle B=\angle C=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}\\=60^\circ\end{gathered}

方法二 · 底角为 60°

已知等腰；给出的 60° 角是底角。

  1. 60° 是底角的情况

    另一底角也为 60°，内角和给出顶角为 60°；再按第一种等角判定得到三边相等。

    ∵∠B=∠C=60∘∴∠A=180∘−120∘=60∘AB=BC=CA\begin{gathered}\because\angle B=\angle C=60^\circ\\\therefore\angle A=180^\circ-120^\circ=60^\circ\\AB=BC=CA\end{gathered}

理解时别漏掉：仅有一个 60° 角，并不能判定等边。