三角形 · 定义、性质、判定与拓展

直角三角形的定义、性质与判定

Right Triangles: Definition, Properties and Criteria

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

直角三角形：有一个内角为直角的三角形叫作直角三角形；直角所对的边叫作斜边，另外两边叫作直角边。

性质

使用条件：已知不退化直角三角形。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

性质：直角三角形的另外两个内角都是锐角，且这两个锐角互余。

符号表达

△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B 为两个锐角。

∠A+∠B=90∘\angle A+\angle B=90^\circ

直角三角形的两个锐角

已知 ∠C＝90°，∠A＋∠B＝90°。

性质从直角出发；逆向判定只把两个锐角互余当作已知。

理解时别漏掉：一个三角形不可能有两个直角。

使用条件：已知有一个 30° 角的直角三角形；a、b、c 依次为 30°、60°、90° 所对的边长。

性质：30° 角所对的直角边等于斜边的一半；三边长之比为 1∶√3∶2。

符号表达

a:b:c=1:3:2a:b:c=1:\sqrt{3}:2

性质：30° 所对的边

已知 ∠C＝90°、∠A＝30°，BC＝AB/2。

30° 与半斜边的两个方向都必须在直角三角形中使用。

怎样理解

把原三角形沿另一条直角边所在直线对称一次，就能把两个 30° 拼成 60°，形成等边三角形。原来的短直角边是等边底边的一半，也就等于原斜边的一半；再用勾股定理算出另一条直角边，得到 √3 的比例。

证明怎样读：可先掌握“30° 所对边是半斜边”。下面前两步用轴对称与等边判定说明原因；最后一步的 √3 比例需要勾股定理，尚未学过时可以以后再读。

先了解这些知识

把两个 30° 拼成一个 60°

△ABC 中 ∠C＝90°、∠BAC＝30°，a＝BC、b＝AC、c＝AB。为了得到等边三角形，把 B 关于直线 AC 对称到 D，连接 AD；C 是 BD 的中点。

  1. 对称后得到等腰三角形

    轴对称保持长度和角度，所以 AB＝AD、BC＝CD、∠CAD＝∠BAC＝30°。B、C、D 依次共线，∠BAD＝60°，△BAD 是顶角为 60° 的等腰三角形，因此是等边三角形。

    AB=AD,BC=CD∠BAD=30∘+30∘=60∘∴△BAD 是等边三角形\begin{gathered}AB=AD,\quad BC=CD\\\angle BAD=30^\circ+30^\circ=60^\circ\\\therefore\triangle BAD\text{ 是等边三角形}\end{gathered}

  2. 从等边得到半斜边

    等边三角形给出 AB＝BD。C 在 B、D 之间，BD＝BC＋CD＝2BC，因此 c＝2a，30° 所对的直角边是斜边的一半。这一步不需要勾股定理。

    AB=BDBD=BC+CD=2BC∴c=2a,a=c2\begin{gathered}AB=BD\\BD=BC+CD=2BC\\\therefore c=2a,\quad a=\frac{c}{2}\end{gathered}

  3. 用勾股补出根号比例

    再用勾股定理：b²＝c²−a²＝3a²。a、b 都是正长度，所以 b＝√3·a。把三条边同时除以 a，得到 1∶√3∶2；除以同一个长度只是比较比例，不改变原图形。

    b2=(2a)2−a2=3a2b=3 a∴a:b:c=1:3:2\begin{gathered}b^2=(2a)^2-a^2=3a^2\\b=\sqrt3\,a\\\therefore a:b:c=1:\sqrt3:2\end{gathered}

理解时别漏掉：必须同时满足直角与 30°；并非所有带 30° 角的三角形都满足。

使用条件：已知直角三角形，CM 连接直角顶点与斜边 AB 的中点 M。

性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。斜边中点到三个顶点的距离相等，是这个三角形的外接圆圆心。

符号表达

△ABC 中，∠ACB＝90°，M 为斜边 AB 的中点，CM 为斜边上的中线。

CM=AM=BM=AB2CM=AM=BM=\frac{AB}{2}

斜边中线等于斜边的一半

已知 ∠ACB＝90°，M 是 AB 中点，则 CM＝AM＝BM。

性质图先有直角和中点；判定图先有中点和 CM＝AB/2，不能先称 AB 为斜边。

理解时别漏掉：CM 必须是中线。逆向判定以 CM＝AB/2 且 M 为 AB 中点为前提，不能只凭一条任意线段长为 AB 的一半判定。

使用条件：已知等腰直角三角形；a、b 为直角边长，c 为斜边长。

性质：等腰直角三角形的两个锐角都是 45°，两条直角边相等，斜边长为直角边长的 √2 倍。

符号表达

a:b:c=1:1:2a:b:c=1:1:\sqrt{2}

等腰直角三角形

AC＝BC；∠A＝∠B＝45°。

一般直角三角形

AC≠BC；两个锐角不是 45°。

直角还不够：等腰直角三角形需要两条直角边相等，或在直角前提下有一个 45° 角。

怎样理解

两个相等的锐角合起来是 90°，所以各为 45°。斜边的 √2 倍数则来自勾股定理：两条相等直角边的平方相加，再取正的平方根，不是由图形看起来的长短得到。

证明怎样读：可先掌握两条直角边相等、两个锐角各为 45°。√2 的边长比例用到勾股定理；尚未学过时，先认识结论，学过以后再读下面的短推导。

先了解这些知识

为什么斜边是直角边的 √2 倍

△ABC 中 ∠C＝90°，AC＝BC。令 a＝BC、b＝AC、c＝AB；a＝b＞0。两个锐角相等且互余，所以各为 45°。

  1. 两条相等直角边代入勾股

    勾股定理给出 c²＝a²＋b²。a＝b，所以 c²＝2a²；先得到平方关系，不把平方直接当作边长。

    c2=a2+b2=2a2c^2=a^2+b^2=2a^2

  2. 取正根，再比较三边

    a、c 都是正长度，所以 c＝√2·a，而不是负根。三条边同时除以 a，得到 1∶1∶√2；比例中的 √2 就来自勾股定理。

    c=2 a∴a:b:c=1:1:2\begin{gathered}c=\sqrt2\,a\\\therefore a:b:c=1:1:\sqrt2\end{gathered}

理解时别漏掉：一个 45° 角不足以单独判定；还须是直角三角形。

判定

使用条件：不退化三角形，已知两个内角互余。

判定：三角形中若两个内角互余，则第三个内角为直角，这个三角形是直角三角形。

符号表达

△ABC 中，已知 ∠A＋∠B＝90°，尚未假定 ∠C 是直角。

若 ∠A+∠B=90∘则 ∠C=90∘\begin{gathered}\text{若 }\angle A+\angle B=90^\circ\\\text{则 }\angle C=90^\circ\end{gathered}

判定：两个内角互余

α＝∠A、β＝∠B，已知 α＋β＝90°，由内角和推出 ∠C＝90°；不预先标 C 的直角。

理解时别漏掉：一个三角形不可能有两个直角。

使用条件：已知直角三角形的一条直角边长 a 等于斜边长 c 的一半。

判定：直角三角形的一条直角边等于斜边的一半时，这条直角边所对的锐角为 30°。

符号表达

△ABC 中，∠C＝90°；BC＝a，AB＝c。

若 a=c2则 ∠A=30∘\begin{gathered}\text{若 }a=\frac{c}{2}\\\text{则 }\angle A=30^\circ\end{gathered}

判定：直角边是斜边的一半

已知 ∠C＝90°、BC＝AB/2，得到 ∠A＝30°；不预先标 A 的角度。

理解时别漏掉：这里先已知直角和半斜边关系，再推出 30°；普通三角形只有一边是另一边的一半，还不能使用这个判定。

使用条件：不退化三角形，M 是边 AB 的中点，已知 CM＝AB/2。

逆向判定：三角形的一条中线等于它所对应边的一半时，这个三角形是直角三角形，该边是斜边。

符号表达

△ABC 中，CM 是中线；此时不先假定 ∠ACB 是直角。

AM=BM,CM=AB2则 ∠ACB=90∘\begin{gathered}AM=BM,\quad CM=\frac{AB}{2}\\\text{则 }\angle ACB=90^\circ\end{gathered}

判定：中线等于所在边的一半

已知 AM＝BM、CM＝AB/2，得到 ∠ACB＝90°；不预先标直角。

理解时别漏掉：CM 必须是中线。逆向判定以 CM＝AB/2 且 M 为 AB 中点为前提，不能只凭一条任意线段长为 AB 的一半判定。

使用条件：直角三角形；a、b 为两条直角边长，c 为斜边长。

判定：两条直角边相等，或一个锐角为 45° 的直角三角形，是等腰直角三角形。

符号表达

△ABC 中，∠C＝90°；BC＝a，AC＝b。

若 a=b 或 ∠A=45∘则 ∠A=∠B=45∘\begin{gathered}\text{若 }a=b\text{ 或 }\angle A=45^\circ\\\text{则 }\angle A=\angle B=45^\circ\end{gathered}

理解时别漏掉：一个 45° 角不足以单独判定；还须是直角三角形。

射影定理 · 进阶

进阶

使用条件：从直角三角形的直角顶点向斜边作高，高的垂足把斜边分成两段。

直角三角形射影定理：斜边上高的平方等于它分成的两段斜边的乘积。每条直角边的平方，等于整个斜边与这条直角边在斜边上的投影的乘积。

符号表达

△ABC 中 ∠ACB＝90°，CH⊥AB，H 在斜边上；AC 的投影为 AH，BC 的投影为 HB。

CH2=AH⋅HBAC2=AH⋅ABBC2=HB⋅AB\begin{aligned}CH^2&=AH\cdot HB\\AC^2&=AH\cdot AB\\BC^2&=HB\cdot AB\end{aligned}

向斜边作高

∠ACB＝90°，CH⊥AB，H 在 A、B 之间。三条等式分别比较高或直角边的平方。

H 是直角顶点到斜边的垂足；AH、HB 是两条直角边在斜边上的射影。

理解时别漏掉：它是由相似推出的拓展工具，不必把名称当作所有教材都要求记忆的定理。