三角形的边角关系

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

三边关系与组成三角形

使用条件：讨论不退化三角形的边长，或判断三条正长度能否组成三角形。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

两边之和：三角形任意两边之和大于第三边。

两边之差：三角形任意两边之差的绝对值小于第三边。

组成三角形的判定：三条正长度能组成不退化三角形，当且仅当任意两条长度之和大于第三条；只需检查两条较短长度之和大于最长长度。

|a-b|<c<a+b

AB＋BC＞AC，三点不共线。

AB＋BC＝AC，三点共线。

两条较短长度之和必须严格大于最长长度；等于时只有共线的退化图形。

三角形两边和大于第三边

A、B、C 不共线。先比较从 B 到 C 的直达线段与经 A 的折线路程。

直达与绕行
两点之间线段最短，且 A 不在线段 BC 上，因此经过 A 的路线严格更长。
$AB+AC>BC$
轮换比较
另外两条边同样可作直达线段；从两边和不等式移项，也得到两边之差小于第三边。
$\begin{gathered}AB+BC>AC\\AC+BC>AB\\|AB-AC|<BC\end{gathered}$

理解时别漏掉：等号对应共线退化，不再是三角形；检查三条正长度能否组成三角形时，可只检查两条较短边的和大于最长边。

使用条件：比较同一个三角形内的边与它们的对角。

大小关系：同一个三角形中，较长的边对应较大的对角，较大的角对应较长的对边。

相等关系：同一个三角形中，相等的边对应相等的对角，反过来也成立。

△ABC 中，AB 的对角为 ∠C，AC 的对角为 ∠B。

\begin{gathered}\text{若 }AB>AC\\\text{则 }\angle C>\angle B\end{gathered}

理解时别漏掉：不能直接拿两个不同三角形的边与角作这种比较。