三角形 · 定义、性质与判定

三角形中位线的定义、性质与判定

Triangle Midsegments: Definition, Properties and Criteria

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义

使用条件：讨论不退化三角形。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

定义：连接三角形两边中点的线段，叫作三角形的中位线。

性质

使用条件：在 △ABC 中，D、E 分别为 AB、AC 的中点。

性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。

符号表达

连接 D、E，线段 DE 是三角形 ABC 的中位线。

DE∥BC,DE=12BCDE\parallel BC,\quad DE=\frac12 BC

经过两边中点

AD＝DB，AE＝EC，因此 DE＝0.5BC。

对照：平行，但不是中位线

AD＝0.35AB，AE＝0.35AC，D、E 不是中点。本图不满足中位线的中点条件，不能用半长结论；这里 DE＝0.35BC。

两图的 DE 都平行于 BC，但只有第一图的 D、E 是中点。普通平行截线不一定是中位线。

应用小例

另给条件：△ABC 中 D、E 分别为 AB、AC 的中点，BC＝12。

选择方法：由定义确认 DE 是中位线，再用中位线性质。

理由：连接两边中点的线段平行于第三边，并等于第三边的一半。

结论：DE∥BC，DE＝6。这里的 12 是小例给定的长度，不是配图读数。

先了解这些知识

用相似证明中位线的主结论

D、E 分别为 △ABC 的 AB、AC 中点。本推导证明 DE∥BC 且 DE＝BC/2。

  1. 从中点得到比例

    两条对应边都为原边的一半，夹角则是共同的 ∠BAC。

    ADAB=AEAC=12∠DAE=∠BAC\begin{gathered}\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac12\\\angle DAE=\angle BAC\end{gathered}

  2. 判定相似

    根据两边成比例且夹角相等（SAS），两个三角形相似。

    △ADE∽△ABC(SAS)\triangle ADE\sim\triangle ABC\quad(\mathrm{SAS})

  3. 对应边与对应角

    相似给出半长关系与对应角相等；D 在 AB 内部，利用同位角判定平行。

    DE=12BC∠ADE=∠ABCDE∥BC\begin{gathered}DE=\frac12 BC\\\angle ADE=\angle ABC\\DE\parallel BC\end{gathered}

判定

使用条件：在 △ABC 中，D 在 AB 内部，E 在 AC 内部，已知 AD＝DB 且 DE∥BC。

判定一（一个中点与平行）：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线，经过第三边的中点。因此，两交点之间的线段是中位线。

符号表达

先知道 D 是中点，不能预先假定 E 也是中点。

AD=DB,DE∥BC则 AE=EC\begin{gathered}AD=DB,\quad DE\parallel BC\\\text{则 }AE=EC\end{gathered}

判定一：已知一个中点与平行

D 在 AB 内、E 在 AC 内；已知 AD＝DB、DE∥BC，须证明 AE＝EC。

中点刻痕只标在 AB 上；E 是否为中点是要证明的结论。

怎样理解

DE∥BC 给出两组相等的对应角，所以 △ADE∽△ABC（AA）。D 是中点，故 AD/AB＝1/2；对应边成比例，又有 AE/AC＝1/2。于是 AE 是 AC 的一半，EC 是另一半，AE＝EC，E 也是中点。

先了解这些知识

理解时别漏掉：这里已知的是 D 为中点；E 为中点是推理的结果。

使用条件：在 △ABC 中，D 在 AB 内部，E 在 AC 内部，已知 DE∥BC 且 DE＝BC/2。

判定二（平行与半长）：一条线段的两个端点分别在三角形两边内部，若这条线段平行于第三边，且长度等于第三边的一半，则它是三角形的中位线。

符号表达

先知道平行与半长，不能预先假定 D、E 是中点。

DE∥BC,DE=BC2则 AD=DB,AE=EC\begin{gathered}DE\parallel BC,\quad DE=\frac{BC}{2}\\\text{则 }AD=DB,\quad AE=EC\end{gathered}

判定二：已知平行与半长

D 在 AB 内、E 在 AC 内；已知 DE∥BC、DE＝BC/2，须证明 AD＝DB、AE＝EC。

没有中点刻痕，因为 D、E 是中点都需要由已知条件推出。

怎样理解

平行给出 △ADE 与 △ABC 相似，再由 DE＝BC/2 得到 AD＝AB/2、AE＝AC/2，因此 AD＝DB、AE＝EC。

先了解这些知识

理解时别漏掉：平行与半长两个条件都要具备，端点也必须分别在两边内部。