本页目录内心、外心与三角形的圆
示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。
内心、外心与三角形的圆
使用条件：不退化的三角形。
不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。
内心：三角形三条内角平分线交于一点，这个点叫作内心；它到三边所在直线的距离相等，是内切圆的圆心。
符号表达
I 是内心，T、U、V 分别是它到 BC、AB、AC 的垂足。
内心：到边等距
IT、IU、IV 是到三边的垂直距离；任选一段都可作为内切圆半径。
怎样理解
I 在 A、B 的内角平分线上，因此 IU＝IV、IU＝IT，进而 IV＝IT。I 在三角形内部，由角平分线的判定可知 CI 也平分 C 处的内角。因此找出两条内角平分线的交点，第三条也必经过它。
先了解这些知识
理解时别漏掉：内心到三边所在直线等距；这些距离是垂线段长，不是到顶点的距离。
使用条件：不退化的三角形。
外心：三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫作外心；它到三个顶点的距离相等，是外接圆的圆心。
符号表达
O 是外心，OA、OB、OC 都是外接圆的半径。
外心：到顶点等距
先由中垂线得到等距，再以这个共同距离为半径画圆，三个顶点都在圆上。
怎样理解
O 在 AB、BC 的中垂线上，因此 OA＝OB、OB＝OC，进而 OA＝OC。由垂直平分线的判定，O 也在 AC 的中垂线上。因此两条中垂线的交点同时属于第三条中垂线。
先了解这些知识
理解时别漏掉：外心到三个顶点等距；不能把半径换成 O 到边的距离。
使用条件：不退化的三角形。
内切圆与外接圆：与三角形三边都相切且位于三角形内的圆叫作内切圆；经过三角形三个顶点的圆叫作外接圆。
使用条件：不退化的三角形。
圆心的位置：内心总在三角形内部；锐角三角形的外心在内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形的外心在外部。
锐角三角形：外心在内部
直角三角形：外心在斜边中点
钝角三角形：外心在外部
三幅图中的 OA、OB、OC 都是同一个圆的半径。改变的是外心相对三角形的位置，不是外心的定义。
理解时别漏掉：内心始终在内部；外心的位置要结合三角形的角来判断。
重心
三角形的重心
使用条件：不退化三角形的三条中线。
定义与位置：三角形的三条中线交于一点，这个点叫作重心；重心总在三角形内部。
分中线的比例（进一步性质）：重心把每条中线分成两段，从顶点到重心的一段是从重心到对边中点的一段的两倍。
符号表达
D 是 BC 的中点，G 为 △ABC 的重心。
三条中线交于 G
重心处 AG＝2GD，指的是同一条中线上的两段之比；不要与中点的 BD＝DC 混淆。
怎样理解
先只看中线 AD、BE。连接它们对应的边中点 D、E，这条中位线是 AB 的一半；平行关系使交点两侧的 △GDE、△GAB 相似，所以短段 GD 也是长段 GA 的一半。
证明怎样读：可先认识重心并使用 2∶1 的分段关系。下面的解释用到三角形中位线与 AA 相似；学过这些知识后，再核对比例为什么成立。
先了解这些知识
重心为什么把中线分成 2∶1
△ABC 的重心为 G，D、E 分别为 BC、CA 的中点，G 在中线 AD、BE 上。为比较 GA、GD，连接 DE，把两段放进一对相似三角形。这里解释分中线比例，沿用三条中线共点这一已知性质。
中位线提供一半的对应边
在 △CBA 中，D、E 是两边的中点，因此 DE∥BA，DE＝AB/2。这是接下来相似三角形中要比较的一对边。
交点两侧的三角形相似
AD、BE 相交于 G，所以 ∠DGE＝∠AGB 是对顶角；DE∥AB，又有 ∠GDE＝∠GAB。按 AA 得到 △GDE∽△GAB，GD 对应 GA，DE 对应 AB。
分段合成完整的中线
上一步得到 AG＝2GD。A、G、D 依次共线，因此 AD＝AG＋GD＝3GD，AG 就占 AD 的 2/3。交换顶点和相应中点的名称，可同理得到其他两条中线的分段比。
理解时别漏掉：先了解三条中线的交点这一概念；2∶1 的顺序是“顶点到重心”比“重心到中点”。不同中线通常不等长，分中线比例不统一列作各版教材的必背结论。
垂心 · 进阶
进阶
三角形的垂心
使用条件：不退化三角形；每个顶点向对边所在直线作垂线。
定义：三角形三条高所在的直线交于一点，这个点叫作垂心。
位置：锐角三角形的垂心在内部；直角三角形的垂心是直角顶点；钝角三角形的垂心在外部。
符号表达
H 为 △ABC 的垂心。
锐角三角形
直角三角形：垂心与直角顶点重合
钝角三角形
交点属于三条高所在的直线，而不一定落在有限长的高线段上。钝角三角形要延长相关线段才能看到外部垂心。
理解时别漏掉：钝角三角形通常要延长高才能看到交点；不能只用有限长的三条高线段寻找垂心。本条作为进阶认识，不把完整的共点证明当作初学要求。