欧拉线｜几何模型

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理

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使用条件：不退化且非等边的三角形；O 为外心，G 为重心，H 为垂心。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

共线与比例：非等边三角形的外心、重心和垂心共线，重心在外心与垂心之间，且 GH＝2GO。

等边例外：等边三角形的外心、重心、垂心重合，不能由这三个重合点确定一条唯一的欧拉线。

\begin{gathered}O,G,H\text{ 共线，G 在 O、H 之间}\\GH=2GO\end{gathered}

O 为外心，G 为重心，H 为垂心。G 在 O 与 H 之间，GH 是 GO 的两倍。

三个点分别来自中垂线、中线、高，不是凭一条预画直线定义；这里独立计算坐标后确实满足共线和 GH＝2GO。

三个不同定义的圆心或交点，竟满足同一条直线和固定比例；中点三角形与位似能解释这一联系。

理解时别漏掉：一般不能把内心 I 加进这条线；等边例外也不能省去。