梅涅劳斯定理｜几何模型

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理与判定

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使用条件：不退化三角形 ABC；D 在 AB 内部，E 在 BC 内部，F 在 CA 延长线上且点序为 C—A—F。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

共线推出比例：一条不过顶点的直线截三角形的两边与第三边的延长线时，沿三边循环排列的三个分段长度比之积为 1。

比例判定共线：在本页指定的两内分、一外分条件下，循环比的乘积为 1，也能推出三个分点共线。

共线的是 D、E、F；所有比使用正的长度。

\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}=1

D 在 AB 内，E 在 BC 内，F 的点序为 C—A—F；D、E、F 共线。证明中作 CR∥AB，R 在 FE 的延长线上；CR 用虚线表示辅助线。

D、E 在两边内部，F 在第三边延长线上。图中三个正长度比为 1/2、1、2，乘积为 1。

看到“证明三个点共线”，先找一个三角形，使这三个点落在它的三条边所在直线上，再检查分段比。

两内分一外分的梅涅劳斯定理

D 在 AB 内，E 在 BC 内，F 在 CA 延长线上，点序 C—A—F。先设 D、E、F 共线；过 C 作 CR∥AB，交这条截线于 R。

这一部分已知 D、E、F 共线。

取两组相似三角形
平行线给出等角。△FAD 与 △FCR 相似；△EBD 与 △ECR 相似。
$\begin{gathered}\frac{FA}{FC}=\frac{AD}{CR}\\\frac{DB}{CR}=\frac{BE}{EC}\end{gathered}$
消去辅助长度
将第二式代入乘积，再利用第一式，消去 CR。
$\begin{gathered}\frac{AD}{DB}\cdot\frac{BE}{EC}\cdot\frac{CF}{FA}\\=\frac{AD}{CR}\cdot\frac{CF}{FA}=1\end{gathered}$

重新从乘积为 1 出发，不预设 D 在直线 FE 上。

逆向比较内分点
反过来，设乘积为 1。直线 FE 交 AB 于内点 D′；由已证方向与已知乘积，D′ 与 D 的内分比相等。固定线段的内分比唯一确定分点，故 D′＝D。
$\begin{gathered}\frac{AD'}{D'B}=\frac{AD}{DB}\\D'=D\end{gathered}$

理解时别漏掉：这里明确了点序，不使用有向线段。三点都在三条边内部时，不可能共线，不能只记乘积形式。