费马点与三点距离和最小

本页目录定理

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理

扩展

使用条件：△ABC 不退化，P 可以在整个平面内取点；研究 PA＋PB＋PC。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

取等：指不等式中的等号成立。讨论最值时，还要检查能使等号成立的位置是否符合题目条件。

三个角都小于 120°：存在唯一内点 F，使 ∠AFB、∠BFC、∠CFA 都为 120°；F 唯一取得 PA＋PB＋PC 的最小值。

有角不小于 120°：若三角形有一个内角不小于 120°，则该角的顶点唯一取得距离和最小值。

\begin{gathered}PA+PB+PC\\\ge FA+FB+FC\\\text{各角小于 }120^\circ\text{ 时}\\\text{等号在 }P=F\text{ 取到}\end{gathered}

F 在内部，∠AFB＝∠BFC＝∠CFA＝120°。这一内点方案有角度条件。

∠BAC 大于 120°，最小距离和在 P＝A 处取得，不存在适用的内部 120° 方案。

第一幅用内部的 120° 交汇点，第二幅最优点是钝角顶点 A。先看角度条件与允许范围，再选择方案。

等边三角形和同向 60° 旋转可以把三段距离展开为一条折线。取等位置必须同时检查：120° 内点方案并不适合所有三角形。

理解时别漏掉：平面动点与受限动点是不同问题。若 P 被限制在线段或圆上，本页最优位置可能不合法。