扩展 · 定理

九点圆

The Nine-Point Circle

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理

扩展

使用条件：△ABC 不退化；H 为垂心，O 为外心，R 为外接圆半径；高的垂足取在边所在直线上。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

九个位置：三条边的中点、三条高的垂足，以及三个顶点与垂心所连线段的中点，都在同一个圆上。若某个顶点与垂心重合，对应位置取该顶点本身。

圆心与半径：外心与垂心不重合时，九点圆的圆心是它们所连线段的中点；二者重合时，圆心就是该重合点。九点圆的半径为外接圆半径的一半。

符号表达

N 为九点圆圆心，R₉ 为九点圆半径。O＝H 时，N 就是该重合点。

O≠H 时，N 是 OH 的中点O=H 时，N 是该重合点R9=R2\begin{gathered}O\ne H\text{ 时，N 是 OH 的中点}\\O=H\text{ 时，N 是该重合点}\\R_9=\frac R2\end{gathered}

三边中点与三条高的垂足

D、E、F 是边中点；U、V、W 是垂足。这六个点都在圆 N 上；本图为锐角三角形，垂足在边内。

顶点与垂心的三个中点

X、Y、Z 分别为 AH、BH、CH 中点，也在同一九点圆 N 上。

O、H 不重合时，圆心 N 是 OH 中点；重合时 N 是该重合点。半径为 R/2。九个位置在特殊三角形中可能重合，因此不强求九个不同点。

怎样理解

先关注边中点组成的三角形：它与原三角形相似且比例为 1/2。九点圆把这个中点结构与高、垂心联系起来。

先了解这些知识

理解时别漏掉：特殊三角形中上述位置可能重合，不保证是九个不同点。钝角三角形的垂足可以在线段外。