扩展 · 定理与判定

西姆松定理

The Wallace–Simson Theorem

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理与判定

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使用条件：△ABC 不退化，P 不等于其三个顶点；D、E、F 分别为 P 到 BC、CA、AB 所在直线的垂足。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

共圆推出共线：若 P 在三角形的外接圆上，则它到三边所在直线的三个垂足共线。

逆向判定：在相同条件下，若三个垂足共线，则 P 在三角形的外接圆上。

符号表达

下面的符号表达针对 P 在外接圆上且不为顶点的情况。一般讨论垂足时，若 P 在某条边所在直线上，该垂足就是 P，距离为 0；此时不把零长度线段写成垂线。

P 在外接圆上且不为顶点时PD⊥BC, PE⊥CA, PF⊥ABD、E、F 共线\begin{gathered}\text{P 在外接圆上且不为顶点时}\\PD\perp BC,\ PE\perp CA,\ PF\perp AB\\D\text{、E、F 共线}\end{gathered}

圆周点的三个垂足

D、E、F 分别落在 BC、CA、AB 所在直线上；它们共线，其中 F 在 AB 延长线上。

垂足可以在边的延长线上。P 在外接圆上是关键条件，三个直角本身并不足以让 D、E、F 共线。

怎样理解

垂足产生直角，直角又产生四点共圆；把圆周角关系连接起来，能转化为三个垂足共线。

先了解这些知识

理解时别漏掉：垂足在边的延长线上也属于本定理。逆向判定不预先要求 P 在外接圆上；本页排除 P 为三角形顶点的情况。