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斯图尔特定理与中线特例

Stewart's Theorem and the Median Formula

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

斯图尔特定理

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使用条件：△ABC 不退化，D 在线段 BC 内部；设 BD＝m，DC＝n，AD＝d，AC＝b，AB＝c。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

结论：三角形顶点到对边内分点的线段长，与两条邻边和对边分段长满足加权平方关系：AC²·BD＋AB²·DC＝BC·(AD²＋BD·DC)。

中线特例：当 D 为 BC 中点时，这个关系化为三角形的中线长公式。

符号表达

b2m+c2n=(m+n)(d2+mn)b^2m+c^2n=(m+n)(d^2+mn)

一般内分线段 AD

A(1,4)、B(0,0)、C(5,0)、D(2,0)。BD＝2，DC＝3，AD 不是高，也不是中线。

分割线段不需要垂直于底边；m、n 分别是 BD、DC，代入时要保持 AC² 配 BD，AB² 配 DC。

怎样理解

它把“斜着的一条分割线段”转成边长计算，适合已知三边与分点比例而求 AD 的问题。两邻边平方的权重不能配反。

先了解这些知识

斯图尔特定理的坐标推导

令 a＝m＋n，取 B(0,0)、C(a,0)、D(m,0)、A(x,h)，h≠0。设 AB＝c、AC＝b、AD＝d；x 可为任意实数，不要求垂足在 BC 内。

  1. 距离公式

    分别写出三条线段长度的平方；垂足在边外也适用。

    c2=x2+h2b2=(x−a)2+h2d2=(x−m)2+h2\begin{gathered}c^2=x^2+h^2\\b^2=(x-a)^2+h^2\\d^2=(x-m)^2+h^2\end{gathered}

  2. 按目标式的系数展开

    目标式左边是 b²m＋c²n，所以把上步的 b² 乘 m、c² 乘 n，再相加。用 m＋n＝a 把 x² 和 h² 的系数合并成 a，为下一步整理出 AD² 做准备。

    b2m+c2n=a(x2+h2)−2amx+a2m\begin{gathered}b^2m+c^2n\\=a(x^2+h^2)-2amx+a^2m\end{gathered}

  3. 认出 d² 与 mn

    因为 m²＋mn＝ma，括号内恰是 d²＋mn。

    b2m+c2n=a((x−m)2+h2+mn)=(m+n)(d2+mn)\begin{gathered}b^2m+c^2n\\=a\big((x-m)^2+h^2+mn\big)\\=(m+n)(d^2+mn)\end{gathered}

理解时别漏掉：AC² 配 BD，AB² 配 DC。外分情形需另行处理符号，本页不包含。

中线特例 · 阿波罗尼斯中线定理

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阿波罗尼斯中线定理

使用条件：△ABC 不退化，M 为 BC 的中点。

平方关系：三角形两条邻边的平方和，等于对应中线的平方的两倍，加上底边长度平方的一半。

中线长度：因此，中线长等于两邻边平方和的一半减去底边平方的四分之一所得正数的平方根。

符号表达

AB2+AC2=2AM2+12BC2AM=122AB2+2AC2−BC2\begin{gathered}AB^2+AC^2=2AM^2+\frac12 BC^2\\AM=\frac12\sqrt{2AB^2+2AC^2-BC^2}\end{gathered}

一般三角形的中线

M 为 BC 中点，BM＝MC＝2.5；AM²＝18.25，AB²＋AC²＝49。

中线由对边中点定义，不由垂直定义。图中 AM 不垂直于 BC，但中线公式仍成立。

怎样理解

已知三边求中线，或出现“两边平方和”时，可以使用这个关系；它不是阿波罗尼斯圆的结论。

先了解这些知识

由斯图尔特定理推出中线公式

M 为 BC 中点，令 BC＝a、AC＝b、AB＝c、AM＝d。

  1. 中点代入

    斯图尔特定理中两分段都为 a/2。

    a2b2+a2c2=a(d2+a24)\frac a2 b^2+\frac a2 c^2=a\left(d^2+\frac{a^2}{4}\right)

  2. 约去正长度

    a＞0，除以 a 再整理。d 为正长度，所以取正平方根。

    b2+c2=2d2+a22d=122b2+2c2−a2\begin{gathered}b^2+c^2=2d^2+\frac{a^2}{2}\\d=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}\end{gathered}

理解时别漏掉：中线不一定垂直于底边；不能把一般中线直接当作直角边使用勾股定理。