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欧拉内外心关系与半径不等式

Euler's Incenter–Circumcenter Formula and Inequality

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理与推论

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使用条件：不退化三角形的外心为 O、内心为 I，外接圆半径为 R，内切圆半径为 r。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

取等：指不等式中的等号成立。讨论最值时，还要检查能使等号成立的位置是否符合题目条件。

圆心距离：外心与内心的距离平方为 R(R−2r)。

半径不等式：外接圆半径不小于内切圆半径的两倍；等号当且仅当三角形为等边三角形时成立。

符号表达

OI2=R(R−2r),R≥2rOI^2=R(R-2r),\quad R\ge2r

内外圆及圆心距离

O 是外心、I 是内心；OI 连接的是两个圆心，不是某条边的垂线。

取等：等边三角形

等边三角形的内心 I 与外心 O 重合。这里外接圆半径为 2、内切圆半径为 1，示意 R＝2r 的取等图形；不是上图的一般三角形。

O 表示外心、I 表示内心，两种名称不表示位置一定不同。非等边三角形满足 R＞2r；等边三角形中两心重合，R＝2r。内心一般不属于欧拉线。

怎样理解

把三角形内外接圆的两个半径联系起来。距离平方不能为负，立即给出半径不等式；等号的图形仍需单独说明。

先了解这些知识

由欧拉公式推出半径不等式（不证明公式本身）

使用已知的欧拉圆心距离公式。这里仅推导 R≥2r，并核对取等图形。

  1. 平方不能为负

    OI²≥0，且 R＞0，所以 R−2r≥0。

    OI2=R(R−2r)≥0R≥2r\begin{gathered}OI^2=R(R-2r)\ge0\\R\ge2r\end{gathered}

  2. 核对等号

    若 R＝2r，公式给出 OI＝0，即 O 与 I 重合。三边都与内切圆相切，到 I 的垂直距离均为 r；现在 I 也是外接圆圆心 O，所以三边是同一圆中到圆心等距的弦，因而等长。反之，等边三角形的内外心重合，代入公式并用 R＞0 得到 R＝2r。

    R=2r时 OI=0O=I时 AB=BC=CA\begin{gathered}R=2r\quad\text{时 }OI=0\\O=I\quad\text{时 }AB=BC=CA\end{gathered}

理解时别漏掉：这不是欧拉线：欧拉线涉及外心、重心、垂心，内心一般不在欧拉线上。