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塞瓦定理

Ceva's Theorem

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定理与判定

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使用条件：不退化三角形 ABC；D、E、F 分别在 BC、CA、AB 内部，不是端点。这里只讨论内分型。

不退化：三角形的三个顶点不共线，边长、高和面积都大于 0。

共点推出比例：从三角形三个顶点连接对边内分点的三条线段共点时，沿三边循环排列的三个分段长度比之积为 1。

比例判定共点：在相同内分条件下，若这个循环比的乘积为 1，则三条顶点到对边分点的线段共点。

符号表达

对应的三条线段是 AD、BE、CF；“共点”指三者通过同一个点。

BDDC⋅CEEA⋅AFFB=1\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1

不是中线的三条共点线段

AD、BE、CF 交于 O。BD/DC＝4/3，CE/EA＝1/2，AF/FB＝3/2，三比之积为 1。

分点不必是中点。三组边上内分比可以各不相同，关键是按循环顺序相乘为 1。

怎样理解

看到“证明三条线段共点”，可以尝试把共点问题改成三个分段比的乘积。面积比能把这三个比连接起来。

先了解这些知识

内分型塞瓦定理及逆定理

D、E、F 分别在 BC、CA、AB 内部。先设 AD、BE、CF 共点于 O。S 表示面积，下标是三角形的三个顶点；例如下标 ABO 表示 △ABO 的面积。

正向：由共点推出乘积关系

这一部分已知 AD、BE、CF 共点。

  1. 共点转换为面积比

    先看 △ABD 和 △ACD：它们从 A 到 BC 的高相同，面积比是 BD/DC。再把 AD 看作这两三角形的底：B、C 到 AD 的高各自不变，把底 AD 换成 AO 后得到 △ABO、△ACO，两块面积都缩为原来的 AO/AD 倍，面积比仍是 BD/DC。沿 BE、CF 同样比较，得到另外两式。

    BDDC=SABOSACOCEEA=SBCOSABOAFFB=SACOSBCO\begin{gathered}\frac{BD}{DC}=\frac{S_{ABO}}{S_{ACO}}\\\frac{CE}{EA}=\frac{S_{BCO}}{S_{ABO}}\\\frac{AF}{FB}=\frac{S_{ACO}}{S_{BCO}}\end{gathered}

  2. 乘积约去面积

    三角形面积为正，循环相乘后每项都约去，得到比例关系。

    BDDC⋅CEEA⋅AFFB=1\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1

逆向：由乘积关系判定共点

重新从乘积为 1 出发，不预设 CF 通过 O。

  1. 逆向构造第三条线

    反过来，设乘积为 1。两条内分线段 AD、BE 交于内点 O，CO 与 AB 交于内点 F′。刚证的方向也适用于 F′，比较两式得到相同的分段比。

    AF′F′B=AFFB\frac{AF'}{F'B}=\frac{AF}{FB}

  2. 比例唯一确定分点

    同一线段上内分比确定唯一点：若比为 t，前段长为 t·AB/(1＋t)。故 F′＝F，CF 也通过 O。

    t=AFFB>0AF=t1+tABF′=F\begin{gathered}t=\frac{AF}{FB}>0\\AF=\frac{t}{1+t}AB\\F'=F\end{gathered}

理解时别漏掉：外分型不能直接套本页的内分陈述；也不要只验乘积而不核对各点所在边与点序。