圆锥的侧面积与体积

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示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义与轴

使用条件：本页只讨论有圆形底面的直圆锥。

直圆锥：将一个直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周，三角形所在区域扫过的立体叫作直圆锥。它有一个圆形底面，顶点到底面圆心的连线垂直于底面；高是顶点到底面的垂直距离，母线是顶点到底面圆周上一点的线段。

A 是顶点，O 是底面圆心，B 是底面圆周上一点。AO＝h 是高，OB＝r 是底面半径，AB＝s 是母线长。

与展开图使用同一示例 r＝1、s＝3。椭圆是底面圆的透视示意，后半弧用虚线表示遮挡。AO＝h、AB＝s、OB＝r；AO 垂直于底面，h²＋r²＝s²。

高 AO 垂直于底面，OB 在底面内，所以 AO⊥OB，△AOB 是直角三角形。高与半径是两条直角边，母线是斜边；勾股定理因此给出 h²＋r²＝s²。透视图中画出的角度不代表空间中的实际角度。

理解时别漏掉：母线 s 不是竖直高 h；两者不能互换。

使用条件：本页只讨论直圆锥。

圆锥轴：经过圆锥顶点和底面圆心的直线叫作轴；直圆锥的轴垂直于底面，顶点到底面的垂直距离叫作高。

使用条件：直圆锥底面半径 r，高 h，母线长 s，s²＝r²＋h²。各长度均为正，代入公式前换算为同一长度单位。

侧面展开图：侧面展开为扇形，弧长等于底面周长。

侧面积：侧面积为 πrs。

表面积：表面积为 πrs＋πr²。

体积：体积为 πr²h/3。

A 是圆锥顶点，AO＝h、AB＝s、OB＝r。S侧是侧面积，S表是含底面的表面积，V 是体积；长度用同一单位，面积、体积分别用平方、立方单位。

\begin{gathered}S_{\text{侧}}=\pi rs\\S_{\text{表}}=\pi rs+\pi r^2\\V=\frac13\pi r^2h\end{gathered}

示例 r＝1、s＝3：侧面扇形半径 3、圆心角 120°，弧长为 2π，恰好等于底面圆周长。

高 h、母线长 s、底面半径 r 不是同一条线段；展开扇形的半径是 s，而不是 r。

展开角与侧面积怎样算出（不证明体积公式）

直圆锥底面半径为 r，母线长为 s。展开侧面得到半径为 s 的扇形，弧长 l 等于底面周长 2πr。设扇形圆心角为 n°，n 表示度数。前两步求展开角，最后一步求侧面积；这里不推导体积公式。

用同一弧长求展开角
展开前后长度不变，扇形弧长就是底面圆周长。把扇形弧长公式中的半径取为 s，代入 l＝2πr，约去 π 后求 n。
$\begin{gathered}\because l=\frac{n\pi s}{180}\\l=2\pi r\\\therefore n=\frac{360r}{s}\end{gathered}$
代入图例，解释 120°
图例给出 r＝1、s＝3。展开角的度数是 360×1÷3＝120；图中的 120° 是算出来的，不是任意画出的角，也不是对所有圆锥都固定为 120°。
$\begin{gathered}\because r=1,\quad s=3\\\therefore n=\frac{360\times1}{3}=120\end{gathered}$
把扇形面积换成侧面积
扇形面积等于弧长与扇形半径乘积的一半。这里弧长为 2πr，扇形半径为 s，所以侧面积为 πrs；整个表面积还须加上底面面积 πr²。
$\begin{gathered}\because S_{\text{侧}}=\frac12 ls\\l=2\pi r\\\therefore S_{\text{侧}}=\pi rs\end{gathered}$

理解时别漏掉：母线 s 不是竖直高 h；两者不能互换。