周长、面积与立体 · 定义与关系式、特殊角的精确值、解直角三角形

锐角三角函数与解直角三角形

Trigonometric Ratios and Solving Right Triangles

本页目录定义与关系式

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义与关系式

锐角三角函数

使用条件：直角三角形中，θ 为锐角。

正弦：锐角 θ 的正弦 sinθ，等于对边与斜边的比。

余弦：锐角 θ 的余弦 cosθ，等于邻直角边与斜边的比。

正切：锐角 θ 的正切 tanθ，等于对边与邻直角边的比。

符号表达

sin⁡θ=ac,cos⁡θ=bc,tan⁡θ=ab\sin\theta=\frac{a}{c},\quad\cos\theta=\frac{b}{c},\quad\tan\theta=\frac{a}{b}

相对于 θ 的三条边

∠C＝90°，θ＝∠CAB；BC 是对边 a，AC 是邻边 b，AB 是斜边 c。

同一个锐角，大小不同的三角形

∠C＝∠F＝90°，θ＝∠A＝∠D。两三角形由 AA 相似；BC/AB＝3/5＝6/10＝EF/DE，AC/AB＝4/5＝8/10＝DF/DE，BC/AC＝3/4＝6/8＝EF/DF。

先选定锐角，再找对边、邻边和斜边；换一个锐角，对边与邻边也会互换。

怎样理解

直角三角形都有一个直角，若另一个锐角都是 θ，便由 AA 判定相似。对应边成比例，所以对边与斜边、邻直角边与斜边、对边与邻直角边的比都相同。这些比由 θ 决定，三角形整体放大或缩小不会改变它们。

先了解这些知识

理解时别漏掉：a、b 分别表示 θ 的对边与邻直角边，c 为斜边。“邻直角边”是挨着 θ 的那条直角边，不包括斜边；换一个锐角，对边与邻直角边也会互换。

使用条件：直角三角形中，θ 为锐角。

关系式：sin²θ＋cos²θ＝1，tanθ＝sinθ/cosθ。其中 sin²θ 表示 (sinθ)²，cos²θ 表示 (cosθ)²，都是先求函数值，再求它的平方。

符号表达

沿用 θ＝∠CAB，a＝BC、b＝AC、c＝AB；三条边长均为正。

sin⁡2θ+cos⁡2θ=1tan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\begin{gathered}\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\\\tan\theta=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\end{gathered}

相对于 θ 的三条边

∠C＝90°，θ＝∠CAB；BC 是对边 a，AC 是邻边 b，AB 是斜边 c。

怎样理解

把正弦、余弦写成边长比，平方和就能用勾股定理计算。把正弦除以余弦时，共同的斜边长约去，剩下对边与邻直角边之比，也就是正切。

先了解这些知识

两个关系式怎样由定义推出

沿用直角 △ABC，∠C＝90°，θ＝∠CAB。令 a＝BC、b＝AC、c＝AB，三条边长都为正；先代入正弦、余弦、正切的定义。

  1. 平方和用勾股定理

    sin²θ 表示 (sinθ)²，cos²θ 表示 (cosθ)²。代入 a/c、b/c，把两项合并为同分母的分式；勾股定理给出 a²＋b²＝c²，因此比值为 1。

    ∵a2+b2=c2∴sin⁡2θ+cos⁡2θ=(ac)2+(bc)2=a2+b2c2=c2c2=1\begin{gathered}\because a^2+b^2=c^2\\\therefore\sin^2\theta+\cos^2\theta\\=\left(\frac ac\right)^2+\left(\frac bc\right)^2\\=\frac{a^2+b^2}{c^2}\\=\frac{c^2}{c^2}=1\end{gathered}

  2. 相除约去共同的斜边长

    锐角的邻直角边长 b 与斜边长 c 都为正，余弦值 b/c 不为 0。除以 b/c，就是乘 c/b；约去 c 后得到 a/b，这正是正切的定义。

    ∵cos⁡θ=bc>0∴sin⁡θcos⁡θ=a/cb/c=ac⋅cb=ab=tan⁡θ\begin{gathered}\because\cos\theta=\frac bc>0\\\therefore\frac{\sin\theta}{\cos\theta}\\=\frac{a/c}{b/c}\\=\frac ac\cdot\frac cb\\=\frac ab=\tan\theta\end{gathered}

理解时别漏掉：sin²θ 不是 sin(θ²)。θ 为锐角时，cosθ＝b/c＞0，所以可以除以 cosθ。

特殊角的精确值

使用条件：角度为 30°、45° 或 60°。

30°、45°、60° 的三角函数值：30°、45°、60° 的正弦、余弦和正切各有确定的精确值，见下表。30° 与 60° 的正弦、余弦值互换，45° 的正弦与余弦相等。

符号表达

θ30∘45∘60∘sin⁡θ122232cos⁡θ322212tan⁡θ3313\begin{array}{c|ccc}\theta&30^\circ&45^\circ&60^\circ\\\hline\sin\theta&\frac12&\frac{\sqrt2}{2}&\frac{\sqrt3}{2}\\\cos\theta&\frac{\sqrt3}{2}&\frac{\sqrt2}{2}&\frac12\\\tan\theta&\frac{\sqrt3}{3}&1&\sqrt3\end{array}

45°：两直角边取 1

AB＝BC＝1，∠B＝90°，所以 AC＝√2，∠A＝∠C＝45°。以 A 处的 45° 为参考角，BC 是对边、AB 是邻直角边、AC 是斜边。

30°、60°：等边三角形的一半

等边 △ABC 的边长取 2；H 是 BC 中点，AH 是高，也是角平分线。BH＝HC＝1、AH＝√3；△ABH 中 ∠BAH＝30°、∠ABH＝60°。

怎样理解

前一节说明，同一个锐角的三角函数值不随三角形大小改变。因此可以选边长方便计算的特殊三角形：用等腰直角三角形求 45° 的值，用等边三角形的一半求 30°、60° 的值。数值表可以由边长比算出来。

先了解这些知识

特殊角数值怎样由边长比算出

先在等腰直角 △ABC 中取 AB＝BC＝1、∠B＝90°。再另取边长为 2 的等边 △ABC，作底边 BC 的中点 H，连接 AH。两种图分别计算，不把第一图的点位或边长条件带到第二图。

第一幅图：45°

AB、BC 为等长的直角边；参考角在 A 处。

  1. 45°：先求斜边

    等腰直角三角形的两个锐角都是 45°。AB、BC 是直角边，由勾股定理求得斜边 AC＝√2。

    ∵AB=BC=1∠B=90∘∴AC=12+12=2\begin{gathered}\because AB=BC=1\\\angle B=90^\circ\\\therefore AC=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\end{gathered}

  2. 45°：按定义取三组边长比

    选 A 处的 45°：对边是 BC，邻直角边是 AB，斜边是 AC。分别代入正弦、余弦、正切的定义。

    sin⁡45∘=12=22cos⁡45∘=12=22tan⁡45∘=11=1\begin{gathered}\sin45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\\cos45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}\\\tan45^\circ=\frac11=1\end{gathered}

第二幅图：30° 与 60°

这是边长为 2 的等边三角形的一半；先选 A 处的角，再换到 B 处。

  1. 30°、60°：先求半个等边三角形的边

    第二图中，等边三角形的中线也是高和角平分线。因此 BH＝1，∠AHB＝90°，∠BAH＝30°、∠ABH＝60°；由 AB＝2 和勾股定理求得 AH＝√3。

    BH=1,AB=2∠AHB=90∘AH=22−12=3\begin{gathered}BH=1,\quad AB=2\\\angle AHB=90^\circ\\AH=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3\end{gathered}

  2. 30°：以 A 处的角为参考

    △ABH 中，对着 A 处 30° 的边是 BH，邻直角边是 AH，斜边是 AB。

    sin⁡30∘=BHAB=12cos⁡30∘=AHAB=32tan⁡30∘=BHAH=33\begin{gathered}\sin30^\circ=\frac{BH}{AB}=\frac12\\\cos30^\circ=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt3}{2}\\\tan30^\circ=\frac{BH}{AH}=\frac{\sqrt3}{3}\end{gathered}

  3. 60°：换成 B 处的角

    仍在 △ABH 中，但参考角换成 B 处的 60°。对边改为 AH，邻直角边改为 BH，斜边 AB 不变。

    sin⁡60∘=AHAB=32cos⁡60∘=BHAB=12tan⁡60∘=AHBH=3\begin{gathered}\sin60^\circ=\frac{AH}{AB}=\frac{\sqrt3}{2}\\\cos60^\circ=\frac{BH}{AB}=\frac12\\\tan60^\circ=\frac{AH}{BH}=\sqrt3\end{gathered}

理解时别漏掉：题目要求精确值时保留根号和分式，不用四舍五入小数替代。

解直角三角形

使用条件：已知直角三角形的两条边，或者一条边和一个锐角；所给数据须符合直角三角形的条件。

两边已知：先用勾股定理求第三边；需要锐角时，由已知边的比选择正弦、余弦或正切，用计算器求角。

一边一锐角已知：用两锐角互余求另一个锐角，再根据已知边与待求边的对应关系选择三角函数。

先辨边：对边、邻边随所选锐角改变，斜边始终是直角所对的边。只知道两个锐角不能确定大小。

符号表达

θ 为一个锐角，a 为其对边长，b 为其邻直角边长，c 为斜边长。

a=csin⁡θ,b=ccos⁡θa=btan⁡θ\begin{gathered}a=c\sin\theta,\quad b=c\cos\theta\\a=b\tan\theta\end{gathered}

把 a、b、c 对应到线段

∠C＝90°，θ＝∠CAB。a＝BC 是对边长，b＝AC 是邻直角边长，c＝AB 是斜边长；字母是长度名称，不是新的点。

小例：已知邻边，求对边

∠C＝90°，θ＝∠CAB＝30°；已知水平距离 AC＝10 m，求高度差 BC。BC 是对边、AC 是邻直角边，故选择正切。

先选参考角并辨认三条边，再选择同时包含已知边与待求边的比；小例把邻边与对边联系起来，因此选正切。

应用小例

另给条件：小例图中 ∠C＝90°、∠CAB＝30°，水平距离 AC＝10 m，求高度差 BC。

选择方法：AC 是 30° 的邻直角边，BC 是它的对边；选择正切，就能把已知长度与待求长度联系起来。

理由：正切等于对边与邻直角边之比，所以 BC/AC＝tan30°。代入 AC＝10，再把等式两边都乘 10。

BC10=tan⁡30∘=33BC=1033 m\begin{gathered}\frac{BC}{10}=\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\\BC=\frac{10\sqrt3}{3}\,\mathrm{m}\end{gathered}

结论：上式给出了高度差的精确值，单位是米。

理解时别漏掉：测量角度的计算器应设为度数模式；中间结果尽量不提前舍入。