圆柱的表面积与体积

本页目录定义、轴与母线

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

定义、轴与母线

使用条件：本页只讨论有两个圆形底面的直圆柱。

定义：将一个矩形绕它的一条边所在直线旋转一周，矩形所在区域扫过的立体是直圆柱；它有两个全等且平行的圆形底面。本页的圆柱均指直圆柱。

使用条件：本页只讨论直圆柱。

圆柱轴：连接两个底面圆心的直线叫作圆柱的轴；直圆柱的轴垂直于两个底面。

圆柱母线：直圆柱侧面上连接两个底面对应点、平行于轴的线段，叫作母线；所有母线都垂直于底面，长度等于高。

O、O′是两底面圆心，虚线为轴；右侧 AD 是一条母线，长度等于高。椭圆只表示圆底面的透视外形。

使用条件：直圆柱的底面半径 r，高 h。r、h 均为正，代入公式前换算为同一长度单位。

侧面展开图：侧面展开是长方形，一边为底面周长，另一边为高。

侧面积：侧面积为 2πrh。

表面积：表面积为 2πrh＋2πr²。

体积：体积为 πr²h。

r 为底面半径，h 为高；S侧表示侧面积，S表表示表面积（侧面与两个底面的面积之和），V 表示体积。

\begin{aligned}S_{\text{侧}}&=2\pi rh\\S_{\text{表}}&=2\pi rh+2\pi r^2\\V&=\pi r^2h\end{aligned}

与展开图使用同一示例 r＝0.5、h＝2。两个底面是圆面，椭圆仅作透视示意；底面被遮挡的后半弧用虚线表示。

示例 r＝0.5、h＝2；侧面长方形的宽为 2πr、高为 h，另有两个半径为 r 的底面。

立体图的椭圆表示圆面透视。侧面展开的宽等于整个底面圆周长，不是底面直径。

理解时别漏掉：无盖容器的表面积只有一个底面，要按实际暴露的面计算。