解直角三角形的应用

本页目录仰角与俯角

示意图帮助辨认条件，点名只作说明；图形和读数不能代替证明。

仰角与俯角

使用条件：在同一竖直平面内，先确定观察点的水平线和视线。

仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线所成的锐角叫作仰角。

俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线所成的锐角叫作俯角。

高度差：把视线、水平距离与竖直高度差组成直角三角形，可用高度差＝水平距离×角的正切求高度差。

d 为水平距离，h 为两点的竖直高度差，θ 为相应仰角或俯角。

h=d\tan\theta

A 为观察点，∠BAC 是仰角；BC 为高度差，AB 为水平距离。

A 为观察点，∠BAC 是俯角；同样从 A 处的水平线 AB 量起。

水平地面 HD 上，A 是观察点，AH＝1.5 m；C 在建筑底部 D 的正上方，CD⊥HD。作水平线 AB，B 在 CD 上，AB＝6 m、∠BAC＝30°。BC 是要先求的高度差，CD 才是建筑总高；图按这些数据绘制。

高度差对应竖直边，水平距离对应水平边，视线或坡面对应斜边。坡度是高度比水平距离，不是比斜边。

另给条件：在水平地面上测一座建筑的高度。H 是观察点 A 正下方的地面点，AH＝1.5 m；D 是建筑底部，C 在 D 的正上方，CD 垂直于水平地面 HD。过 A 作水平线交 CD 于 B，AB＝6 m，望向顶部 C 的仰角为 30°。求建筑总高 CD。

选择方法：先把题目中的仰角放在 A 处。△ABC 中 AB＝6 m 是邻直角边，BC 是对边，选择正切先求高度差 BC，不把 BC 当作建筑总高。

理由：地面 HD 与水平线 AB 平行，AH、BD 都垂直于地面，所以 AHDB 是矩形，BD＝AH＝1.5 m。B 在 D、C 之间，因此总高 CD＝BC＋BD。

\begin{gathered}\frac{BC}{6}=\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}\\BC=2\sqrt3\ \mathrm{m}\\CD=BC+BD\\=(2\sqrt3+1.5)\ \mathrm{m}\\\approx4.96\ \mathrm{m}\end{gathered}

结论：建筑总高的精确值为 (2√3＋1.5) m，约为 4.96 m。2√3 m 只是从观察点水平线到顶部的高度差；1.5 m 是题目给定的观察点高度。

理解时别漏掉：角从观察点的水平线量起，不从竖直方向量起。若观察点与建筑底部采用同一地面基准，仰视顶部时，总高＝观察点高度＋高度差；俯视顶部时，总高＝观察点高度－高度差。若两处地面高低不同，还须计入地面高度差，不能一律相加。

使用条件：讨论直坡的竖直上升高度与水平前进距离，两者均为正长度。

坡度：坡度是竖直上升高度与水平前进距离的比，不是高度与坡面长度的比。

坡角：坡面与水平面所成的锐角叫作坡角；坡度等于坡角的正切。

表示方式：坡度可用比或百分数表示，如 1∶2 表示每水平前进 2 个长度单位，上升 1 个长度单位，坡度为 50%。

i 为坡度，h 为竖直高度，d 为水平距离，α 为坡角。

i=\frac{h}{d}=\tan\alpha

理解时别漏掉：坡度 50% 不表示坡角为 50°；比例与角度是不同的量。